КЛИФФОРДА АЛГЕБРА, СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА

ассоциативная алгебра $K_{n} \mathrm{c} n$ образующими $k_{1}, \ldots, k_{n}$, то есть совокупность линейных комбинаций из произведений $k_{i}$, причем выполняются соотношения: \[ k_{i} k_{j}+k_{j} k_{i}=\left\{k_{i}, k_{j}\right\}=0 \text { при } i \neq j, k_{i}^{2}=1 . \] К. а. названа по имени У. Клиффорда (W. Clifford, 1876). К. а. $K_{3}$ содержит в виде подалгебры алгебру кватернионов; К. а. $K_{4}$ изоморфна алгебре четырехрядных Дирака матриц. Алгебра $K_{n}$ имеет конечную размерность $2^{n}$ и связана с представлением спинорной группы $\operatorname{Spin}(n)-$ двулистной накрывающей ортогональной группы $S O(n)$. Представление группы $\operatorname{Spin}(n)$ в алгебре $K_{n}$ степени $2^{v}$, где $v=n / 2$, называется спинорным представлением. При $n=3$ получаем двумерное спинорное представление частицы со спином $1 / 2$. В физике К. а. появились в работах П. Дирака (P. Dirac) в 1927. При выводе релятивистски инвариантного уравнения для частиц с полуцелым спином (Дирака уравнения) возникает проблема извлечения квадратного корня из гамильтониана $H$. Если представить квадратичную форму \[ H=\sum x_{i}^{2} \] в виде квадрата линейной функции \[ P(x)=\sum k_{i} x_{i}, \] то коэффициенты $k_{i}$ должны удовлетворять соотношениям (*), то есть образовывать К. а. К. а. тесно связана с Грассмана алгеброй. По каждой алгебре Грассмана можно построить К. а. с удвоенным числом образующих с помощью умножения на образующую Грассмана $\hat{x}_{i}$ и оператора дифференцирования $\partial / \partial \hat{x}_{i}$.

ассоциативная алгебра $K_{n} \mathrm{c} n$ образующими $k_{1}, \ldots, k_{n}$, то есть совокупность линейных комбинаций из произведений $k_{i}$, причем выполняются соотношения: \[ k_{i} k_{j}+k_{j} k_{i}=\left\{k_{i}, k_{j}\right\}=0 \text { при } i \neq j, k_{i}^{2}=1 . \] К. а. названа по имени У. Клиффорда (W. Clifford, 1876). К. а. $K_{3}$ содержит в виде подалгебры алгебру кватернионов; К. а. $K_{4}$ изоморфна алгебре четырехрядных Дирака матриц. Алгебра $K_{n}$ имеет конечную размерность $2^{n}$ и связана с представлением спинорной группы $\operatorname{Spin}(n)-$ двулистной накрывающей ортогональной группы $S O(n)$. Представление группы $\operatorname{Spin}(n)$ в алгебре $K_{n}$ степени $2^{v}$, где $v=n / 2$, называется спинорным представлением. При $n=3$ получаем двумерное спинорное представление частицы со спином $1 / 2$. В физике К. а. появились в работах П. Дирака (P. Dirac) в 1927. При выводе релятивистски инвариантного уравнения для частиц с полуцелым спином (Дирака уравнения) возникает проблема извлечения квадратного корня из гамильтониана $H$. Если представить квадратичную форму \[ H=\sum x_{i}^{2} \] в виде квадрата линейной функции \[ P(x)=\sum k_{i} x_{i}, \] то коэффициенты $k_{i}$ должны удовлетворять соотношениям (*), то есть образовывать К. а. К. а. тесно связана с Грассмана алгеброй. По каждой алгебре Грассмана можно построить К. а. с удвоенным числом образующих с помощью умножения на образующую Грассмана $\hat{x}_{i}$ и оператора дифференцирования $\partial / \partial \hat{x}_{i}$.