КОВАРИАЦИЯ

числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, равная математическому ожиданию произведения отклонений случайных величин от их математических ожиданий. К. определяется для случайных величин $X_{1}$ и $X_{2}$ с конечными дисперсиями и обычно обозначается $\operatorname{cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)$. Таким образом, при этом $\operatorname{cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)=\mathrm{E}\left[\left(X_{1}-\mathrm{E} X_{1}\right)\left(X_{2}-\mathrm{E} X_{2}\right)\right]$, $\operatorname{cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)=\operatorname{cov}\left(X_{2}, X_{1}\right) ; \operatorname{cov}(X, X)=\mathrm{D} X$. К. естественным образом появляется в выражении для дисперсии суммы случайных величин: \[ \mathrm{D}\left(X_{1}+X_{2}\right)=\mathrm{D} X_{1}+\mathrm{D} X_{2}+2 \operatorname{cov}\left(X_{1}, X_{2}\right) \] Если величины $X_{1}$ и $X_{2}$ независимы, то \[ \operatorname{cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)=0 \] К. служит характеристикой взаимозависимости случайных величин, с помощью К. определяется корреляции коэффициент: \[ \rho\left(X_{1}, X_{2}\right)=\frac{\operatorname{cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)}{\sqrt{\mathrm{D} X_{1} \mathrm{D} X_{2}}} \] В математич. статистике оценкой К. служит выборочная К., вычисляемая по формуле \[ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{1}^{(i)}-\bar{X}_{1}\right)\left(X_{2}^{(i)}-\bar{X}_{2}\right) \] где $\left(X_{1}^{(i)}, X_{2}^{(i)}\right), i=1, \ldots, n,-$ независимые величины, а $\bar{X}_{1}$ и $\bar{X}_{2}$ - арифметич. средние. А. В. Прохоров.

числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, равная математическому ожиданию произведения отклонений случайных величин от их математических ожиданий. К. определяется для случайных величин $X_{1}$ и $X_{2}$ с конечными дисперсиями и обычно обозначается $\operatorname{cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)$. Таким образом, при этом $\operatorname{cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)=\mathrm{E}\left[\left(X_{1}-\mathrm{E} X_{1}\right)\left(X_{2}-\mathrm{E} X_{2}\right)\right]$, $\operatorname{cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)=\operatorname{cov}\left(X_{2}, X_{1}\right) ; \operatorname{cov}(X, X)=\mathrm{D} X$. К. естественным образом появляется в выражении для дисперсии суммы случайных величин: \[ \mathrm{D}\left(X_{1}+X_{2}\right)=\mathrm{D} X_{1}+\mathrm{D} X_{2}+2 \operatorname{cov}\left(X_{1}, X_{2}\right) \] Если величины $X_{1}$ и $X_{2}$ независимы, то \[ \operatorname{cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)=0 \] К. служит характеристикой взаимозависимости случайных величин, с помощью К. определяется корреляции коэффициент: \[ \rho\left(X_{1}, X_{2}\right)=\frac{\operatorname{cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)}{\sqrt{\mathrm{D} X_{1} \mathrm{D} X_{2}}} \] В математич. статистике оценкой К. служит выборочная К., вычисляемая по формуле \[ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{1}^{(i)}-\bar{X}_{1}\right)\left(X_{2}^{(i)}-\bar{X}_{2}\right) \] где $\left(X_{1}^{(i)}, X_{2}^{(i)}\right), i=1, \ldots, n,-$ независимые величины, а $\bar{X}_{1}$ и $\bar{X}_{2}$ - арифметич. средние. А. В. Прохоров.