БАБА-РАМАКРИШНАНА УРАВНЕНИЯ

уравнения, описывающие ветвящийся процесс $\{\xi(t, \varepsilon), t \geqslant 0, \varepsilon \geqslant 0\}$, состоящий из последовательности реакций элементарных частиц, взаимодействующих с веществом-поглотителем (каскадов частиц). Случайные реализации $\xi(t, \varepsilon)$ интерпретируются как число частиц с энергией меньшей $\varepsilon$, проникающих на глубину $t$, то есть фазовое пространство процесса состоит из разрывных монотонно неубывающих функций от $\varepsilon$, принимающих целые неотрицательные значения. Б.-Р. у. составляются для плотностей $n$-го порядка: \[ f_{n}\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots, \varepsilon_{n} ; t\right)=\frac{\partial^{n}}{\partial \varepsilon_{1} \partial \varepsilon_{2} \ldots \partial \varepsilon_{n}} \mathrm{E}\left[\xi\left(t, \varepsilon_{1}\right) \ldots \xi\left(t, \varepsilon_{n}\right)\right] . \] Определение всех плотностей $f_{n}$ позволяет восстановить распределение вероятностей $\mathrm{P}\{\xi(t, \varepsilon)=n\}$ одномерного сечения случайного процесса, так как характеристич. функция $\varphi(s)$ этого распределения равна \[ \begin{gathered} \varphi(s)=\operatorname{Eexp}[i s \xi(t, \varepsilon)]= \\ =\sum_{l=0}^{\infty} \frac{(i s)^{l}}{l !} \int_{0}^{\varepsilon} f_{l}\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots, \varepsilon_{l} ; t\right) d \varepsilon_{1} d \varepsilon_{2} \ldots d \varepsilon_{l} . \end{gathered} \] Если в каскаде присутствуют $k$ типов частиц, то Б.-Р.у. составляются для многокомпонентных плотностей $n$-го порядка \[ f_{i_{1} \ldots i_{n}}\left(\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{n} ; t\right)=\frac{\partial^{n}}{\partial \varepsilon_{1} \ldots \partial \varepsilon_{n}} \mathrm{E}\left[\xi_{i_{1}}\left(\varepsilon_{1}, t\right) \ldots \xi_{i_{n}}\left(\varepsilon_{n}, t\right)\right], \] где $i_{1}, \ldots, i_{n}=1, \ldots, k$, и случайная реализация $\xi_{i}(t, \varepsilon)$ многомерного процесса $\left\{\xi_{j}\left(t, \varepsilon_{j}\right), j=1, \ldots, k\right\}$ является числом частиц $i$-го типа с энергией меньшей $\varepsilon$ на глубине $t$. В частности, для электронно-фотонного каскада имеются только два типа частиц: электроны $(i=1)$ и фотоны $(i=2)$ (здесь позитроны не отличаются от электронов). Б.-Р.у. для плотностей 1-го порядка этого каскада имеют вид \[ \left.\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial t} f_{1}(\varepsilon ; t)=\int_{\varepsilon}^{\infty} d \varepsilon^{\prime}\left(w_{1}+w_{3}\right)\left(\varepsilon^{\prime}, \varepsilon\right) f_{1}\left(\varepsilon^{\prime} ; t\right)- \\ -f_{1}(\varepsilon ; t) \int_{0}^{\varepsilon} d \varepsilon^{\prime}\left(w_{1}+w_{3}\right)\left(\varepsilon, \varepsilon^{\prime}\right)+2 \int_{\varepsilon}^{\infty} d \varepsilon^{\prime} f_{2}\left(\varepsilon^{\prime} ; t\right) w_{2}\left(\varepsilon^{\prime}, \varepsilon\right), \\ \frac{\partial}{\partial t} f_{2}(\varepsilon ; t)=\int_{\varepsilon}^{\infty} d \varepsilon^{\prime} f_{1}\left(\varepsilon^{\prime}, t\right) w_{1}\left(\varepsilon^{\prime}, \varepsilon^{\prime}-\varepsilon\right)- \\ -f_{2}(\varepsilon ; t) \int_{0}^{\varepsilon} d \varepsilon^{\prime} w_{2}\left(\varepsilon^{\prime}, \varepsilon\right) . \end{array}\right\} \] Здесь $w_{i}\left(\varepsilon, \varepsilon^{\prime}\right), i=1,2,3,-$ интенсивности в единицу времени следующих реакций с начальной частицей при энергии $\varepsilon ; i=1$ - электрон излучает фотон с энергией $\left(\varepsilon-\varepsilon^{\prime}\right) ; i=2-$ фотон рождает электрон-позитронную пару с энергией $\varepsilon^{\prime}$ для электрона и позитрона; $i=3$ - электрон в результате столкновения с частицей вещества-поглотителя теряет энергию $\left(\varepsilon-\varepsilon^{\prime}\right)$. При подстановке явных выражений для $w_{i}$ уравнения (2) переходят в Ландау-Румера уравнения. Лит.: [1] Bhabha H., «Proc. Roy. Soc., ser. A», 1950, v. 202, № 2, p. 995-1005; [2] Ramakrishnan A., «Proc. Camb. Phil. Soc.», 1950, v. 46, № 3, p. 596-602; [3] Баруча-Рид А. Т., Элементы теории марковских процессов и их приложения, пер. с англ., М., 1969. Ю. П. Вириенко.

уравнения, описывающие ветвящийся процесс $\{\xi(t, \varepsilon), t \geqslant 0, \varepsilon \geqslant 0\}$, состоящий из последовательности реакций элементарных частиц, взаимодействующих с веществом-поглотителем (каскадов частиц). Случайные реализации $\xi(t, \varepsilon)$ интерпретируются как число частиц с энергией меньшей $\varepsilon$, проникающих на глубину $t$, то есть фазовое пространство процесса состоит из разрывных монотонно неубывающих функций от $\varepsilon$, принимающих целые неотрицательные значения. Б.-Р. у. составляются для плотностей $n$-го порядка: \[ f_{n}\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots, \varepsilon_{n} ; t\right)=\frac{\partial^{n}}{\partial \varepsilon_{1} \partial \varepsilon_{2} \ldots \partial \varepsilon_{n}} \mathrm{E}\left[\xi\left(t, \varepsilon_{1}\right) \ldots \xi\left(t, \varepsilon_{n}\right)\right] . \] Определение всех плотностей $f_{n}$ позволяет восстановить распределение вероятностей $\mathrm{P}\{\xi(t, \varepsilon)=n\}$ одномерного сечения случайного процесса, так как характеристич. функция $\varphi(s)$ этого распределения равна \[ \begin{gathered} \varphi(s)=\operatorname{Eexp}[i s \xi(t, \varepsilon)]= \\ =\sum_{l=0}^{\infty} \frac{(i s)^{l}}{l !} \int_{0}^{\varepsilon} f_{l}\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots, \varepsilon_{l} ; t\right) d \varepsilon_{1} d \varepsilon_{2} \ldots d \varepsilon_{l} . \end{gathered} \] Если в каскаде присутствуют $k$ типов частиц, то Б.-Р.у. составляются для многокомпонентных плотностей $n$-го порядка \[ f_{i_{1} \ldots i_{n}}\left(\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{n} ; t\right)=\frac{\partial^{n}}{\partial \varepsilon_{1} \ldots \partial \varepsilon_{n}} \mathrm{E}\left[\xi_{i_{1}}\left(\varepsilon_{1}, t\right) \ldots \xi_{i_{n}}\left(\varepsilon_{n}, t\right)\right], \] где $i_{1}, \ldots, i_{n}=1, \ldots, k$, и случайная реализация $\xi_{i}(t, \varepsilon)$ многомерного процесса $\left\{\xi_{j}\left(t, \varepsilon_{j}\right), j=1, \ldots, k\right\}$ является числом частиц $i$-го типа с энергией меньшей $\varepsilon$ на глубине $t$. В частности, для электронно-фотонного каскада имеются только два типа частиц: электроны $(i=1)$ и фотоны $(i=2)$ (здесь позитроны не отличаются от электронов). Б.-Р.у. для плотностей 1-го порядка этого каскада имеют вид \[ \left.\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial t} f_{1}(\varepsilon ; t)=\int_{\varepsilon}^{\infty} d \varepsilon^{\prime}\left(w_{1}+w_{3}\right)\left(\varepsilon^{\prime}, \varepsilon\right) f_{1}\left(\varepsilon^{\prime} ; t\right)- \\ -f_{1}(\varepsilon ; t) \int_{0}^{\varepsilon} d \varepsilon^{\prime}\left(w_{1}+w_{3}\right)\left(\varepsilon, \varepsilon^{\prime}\right)+2 \int_{\varepsilon}^{\infty} d \varepsilon^{\prime} f_{2}\left(\varepsilon^{\prime} ; t\right) w_{2}\left(\varepsilon^{\prime}, \varepsilon\right), \\ \frac{\partial}{\partial t} f_{2}(\varepsilon ; t)=\int_{\varepsilon}^{\infty} d \varepsilon^{\prime} f_{1}\left(\varepsilon^{\prime}, t\right) w_{1}\left(\varepsilon^{\prime}, \varepsilon^{\prime}-\varepsilon\right)- \\ -f_{2}(\varepsilon ; t) \int_{0}^{\varepsilon} d \varepsilon^{\prime} w_{2}\left(\varepsilon^{\prime}, \varepsilon\right) . \end{array}\right\} \] Здесь $w_{i}\left(\varepsilon, \varepsilon^{\prime}\right), i=1,2,3,-$ интенсивности в единицу времени следующих реакций с начальной частицей при энергии $\varepsilon ; i=1$ - электрон излучает фотон с энергией $\left(\varepsilon-\varepsilon^{\prime}\right) ; i=2-$ фотон рождает электрон-позитронную пару с энергией $\varepsilon^{\prime}$ для электрона и позитрона; $i=3$ - электрон в результате столкновения с частицей вещества-поглотителя теряет энергию $\left(\varepsilon-\varepsilon^{\prime}\right)$. При подстановке явных выражений для $w_{i}$ уравнения (2) переходят в Ландау-Румера уравнения. Лит.: [1] Bhabha H., «Proc. Roy. Soc., ser. A», 1950, v. 202, № 2, p. 995-1005; [2] Ramakrishnan A., «Proc. Camb. Phil. Soc.», 1950, v. 46, № 3, p. 596-602; [3] Баруча-Рид А. Т., Элементы теории марковских процессов и их приложения, пер. с англ., М., 1969. Ю. П. Вириенко.