КОММУТАЦИИ С ЭКСПОНЕНТОЙ ФОРМУЛА

формула \[ L(\varphi(x) \exp \{i \lambda S(x)\})=\exp \{i \lambda S(x)\} \sum_{j=0}^{m}(i \lambda)^{-j}\left(R_{j} \varphi\right)(x), \] где $x \in \mathbb{R}^{n}, L=\sum_{|\alpha|=0}^{m} a_{\alpha}(x) \mathscr{D}^{\alpha}-$ линейный дифференциальный оператор, $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right),|\alpha|=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{n}, \alpha_{j} \geqslant 0-$ целые, $\mathscr{D}^{\alpha}=\mathscr{D}_{1}^{\alpha_{1}} \ldots \mathscr{D}_{n}^{\alpha_{n}}, \mathscr{D}_{j}=\frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial x_{j}}$, функции $\varphi, S, a_{\alpha}$ достаточно гладкие и $\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{j}}$ - линейные дифференциальные операторы, коэффициенты которых зависят от $S$. Пусть $L$ есть псевдодифференциальный оператор с достаточно гладким символом (см. [1]) порядка $m, \varphi \in C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n}\right), S \in C^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ вещественнозначна и $\nabla S \neq 0$ на $\operatorname{supp} \varphi$. Тогда при $\lambda \rightarrow+\infty$ справедливо асимптотич. разложение вида (1): в правой части стоит асимптотич. ряд $\sum_{-\infty}^{m}$. Пусть $L$ есть $\lambda^{-1}$-псевдодифференциальный оператор с символом $L\left(x, \lambda^{-1} \xi\right)$ (см. [2], [3]) и $\varphi, S$ такие же, как и выше (условие $\nabla S \neq 0$ излишне). Тогда при $\lambda \rightarrow+\infty$ справедливо асимптотич. разложение \[ \begin{gathered} L(\varphi \exp \{i \lambda S\})=\exp \{i \lambda S\} \sum_{j=0}^{\infty}(i \lambda)^{-j}\left(R_{j} \varphi\right)(x), \\ R_{0} \varphi=L^{0} \varphi, \quad R_{1} \varphi=\left(\frac{\partial L^{0}}{\partial \xi}, \frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)+\frac{1}{2} \operatorname{Sp}\left(\frac{\partial^{2} L^{0}}{\partial \xi^{2}}, \frac{\partial^{2} S}{\partial x^{2}}\right) \varphi, \end{gathered} \] где $L^{0}=L(x, \nabla S(x))$ и, аналогично, для производных $L^{0}$. К. с э. ф. имеется для канонич. оператора Маслова (см. [2], [3]).

формула \[ L(\varphi(x) \exp \{i \lambda S(x)\})=\exp \{i \lambda S(x)\} \sum_{j=0}^{m}(i \lambda)^{-j}\left(R_{j} \varphi\right)(x), \] где $x \in \mathbb{R}^{n}, L=\sum_{|\alpha|=0}^{m} a_{\alpha}(x) \mathscr{D}^{\alpha}-$ линейный дифференциальный оператор, $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right),|\alpha|=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{n}, \alpha_{j} \geqslant 0-$ целые, $\mathscr{D}^{\alpha}=\mathscr{D}_{1}^{\alpha_{1}} \ldots \mathscr{D}_{n}^{\alpha_{n}}, \mathscr{D}_{j}=\frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial x_{j}}$, функции $\varphi, S, a_{\alpha}$ достаточно гладкие и $\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{j}}$ - линейные дифференциальные операторы, коэффициенты которых зависят от $S$. Пусть $L$ есть псевдодифференциальный оператор с достаточно гладким символом (см. [1]) порядка $m, \varphi \in C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n}\right), S \in C^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ вещественнозначна и $\nabla S \neq 0$ на $\operatorname{supp} \varphi$. Тогда при $\lambda \rightarrow+\infty$ справедливо асимптотич. разложение вида (1): в правой части стоит асимптотич. ряд $\sum_{-\infty}^{m}$. Пусть $L$ есть $\lambda^{-1}$-псевдодифференциальный оператор с символом $L\left(x, \lambda^{-1} \xi\right)$ (см. [2], [3]) и $\varphi, S$ такие же, как и выше (условие $\nabla S \neq 0$ излишне). Тогда при $\lambda \rightarrow+\infty$ справедливо асимптотич. разложение \[ \begin{gathered} L(\varphi \exp \{i \lambda S\})=\exp \{i \lambda S\} \sum_{j=0}^{\infty}(i \lambda)^{-j}\left(R_{j} \varphi\right)(x), \\ R_{0} \varphi=L^{0} \varphi, \quad R_{1} \varphi=\left(\frac{\partial L^{0}}{\partial \xi}, \frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)+\frac{1}{2} \operatorname{Sp}\left(\frac{\partial^{2} L^{0}}{\partial \xi^{2}}, \frac{\partial^{2} S}{\partial x^{2}}\right) \varphi, \end{gathered} \] где $L^{0}=L(x, \nabla S(x))$ и, аналогично, для производных $L^{0}$. К. с э. ф. имеется для канонич. оператора Маслова (см. [2], [3]).