КОМПЛЕКСНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ

аналитическая функция комплексного переменного $z=x+i y$ вида \[ f(z)=\varphi(x, y)+i \psi(x, y), \] где гармоническая функция $\varphi$ является потенциалом, а сопряженная к ней функция $\psi$ представляет собой функцию тока (или силовую функцию) плоского векторного поля $\boldsymbol{v}=\left(\boldsymbol{v}^{1}, v^{2}\right)$. В математич. физике широко используются эмпирически подкрепленные линейные законы движения, выражаемые (с точностью до числового коэффициента пропорциональности) в виде \[ \boldsymbol{v}=\operatorname{grad} \varphi=(\partial \varphi / \partial x, \partial \varphi / \partial y) \] что указывает на потенциальность векторного поля $\boldsymbol{v}$. Таковы, напр., закон Фурье в теории теплопроводности, закон Ома в электростатике, закон Дарси в теории фильтрации, описывающие связь между тепловым потоком и температурой, плотностью тока и электрич. потенциалом, скоростью фильтрации и давлением. Наряду с законом движения (2) одним из фундаментальных законов ньютоновской механики является закон сохранения массы \[ \operatorname{div}(\rho v)=q, \] к-рый характеризуется в дифференциальной форме посредством оператора div и функции источников $q$ из правой части соотношения (3), называемого также уравнением неразрывности. Поле без источников и стоков $(q=0)$, то есть $\operatorname{div}(v)=0$, является соленоидальным. Условие соленоидальности поля $\boldsymbol{v}$ в односвязной области гарантирует существование функции тока $\psi$ такой, что \[ d \psi=-v^{2} d x+v^{1} d y \] Если в области $D \subset \mathbb{C}$ задано потенциальное и соленоидальное векторное поле $\boldsymbol{v}$, то для функций $\varphi$ и $\psi$ выполнены соотношения $\partial \varphi / \partial x=\partial \psi / \partial y$ и $\partial \varphi / \partial y=-\partial \psi / \partial x$, являющиеся Коши - Римана условиями для К. п. (1), представляющего собой (вообще говоря, многозначную) аналитич. функцию в области D. C другой стороны, произвольную аналитич. функцию можно интерпретировать как К. П. нек-рого двумерного потенциального и соленоидального векторного поля. При этом изолированные особые точки моделируют причины, порождающие физич. процесс (источник тепла, сток жидкости, точечный диполь и т.д.). Отмеченная взаимосвязь позволяет в полной мере использовать мощный аппарат комплексного анализа для решения плоских задач математич. физики. По К. П. нетрудно определить все характеристики векторного поля, а именно: поле \[ \boldsymbol{v}=f^{\prime}(z) \] линии тока \[ \psi(x, y)=\operatorname{Im} f(z)=\text { const } \] эквипотенциали \[ \varphi(x, y)=\operatorname{Re} f(z)=\text { const, } \] поток через кривую \[ N=\operatorname{Im} \int_{\partial D} f^{\prime}(z) d z \] циркуляцию вдоль кривой \[ \Gamma=\operatorname{Re} \int_{\partial D} f^{\prime}(z) d z \] Поскольку суперпозиция аналитич. функций является аналитич. функцией, построение К. п. для области $D_{1}$ можно осуществить, если известны потенциал для области $D$ и однолистная функция $\varphi: D_{1} \rightarrow D$, задавая $w=\varphi^{*} f=f \circ \varphi$. Примеры. 1) Векторное поле $v=N / 2 \pi \bar{z}$ с источником мощности $N$ в нуле характеризуется комплексным потенциалом $f(z)=(N / 2 \pi) \log z$. 2) Векторное поле $v=\Gamma i / 2 \pi \bar{z}$ с вихрем интенсивности $\Gamma$ в начале координат описывается комплексным потенциалом $f(z)=(\Gamma i / 2 \pi) \log z$ 3) Векторное поле, порождаемое точечным мультиполем мощности $M$ в начале координат, задается комплексным потенциалом $f(z)=M / 2 \pi z^{p}$. Ю. Е. Хохлов.

аналитическая функция комплексного переменного $z=x+i y$ вида \[ f(z)=\varphi(x, y)+i \psi(x, y), \] где гармоническая функция $\varphi$ является потенциалом, а сопряженная к ней функция $\psi$ представляет собой функцию тока (или силовую функцию) плоского векторного поля $\boldsymbol{v}=\left(\boldsymbol{v}^{1}, v^{2}\right)$. В математич. физике широко используются эмпирически подкрепленные линейные законы движения, выражаемые (с точностью до числового коэффициента пропорциональности) в виде \[ \boldsymbol{v}=\operatorname{grad} \varphi=(\partial \varphi / \partial x, \partial \varphi / \partial y) \] что указывает на потенциальность векторного поля $\boldsymbol{v}$. Таковы, напр., закон Фурье в теории теплопроводности, закон Ома в электростатике, закон Дарси в теории фильтрации, описывающие связь между тепловым потоком и температурой, плотностью тока и электрич. потенциалом, скоростью фильтрации и давлением. Наряду с законом движения (2) одним из фундаментальных законов ньютоновской механики является закон сохранения массы \[ \operatorname{div}(\rho v)=q, \] к-рый характеризуется в дифференциальной форме посредством оператора div и функции источников $q$ из правой части соотношения (3), называемого также уравнением неразрывности. Поле без источников и стоков $(q=0)$, то есть $\operatorname{div}(v)=0$, является соленоидальным. Условие соленоидальности поля $\boldsymbol{v}$ в односвязной области гарантирует существование функции тока $\psi$ такой, что \[ d \psi=-v^{2} d x+v^{1} d y \] Если в области $D \subset \mathbb{C}$ задано потенциальное и соленоидальное векторное поле $\boldsymbol{v}$, то для функций $\varphi$ и $\psi$ выполнены соотношения $\partial \varphi / \partial x=\partial \psi / \partial y$ и $\partial \varphi / \partial y=-\partial \psi / \partial x$, являющиеся Коши - Римана условиями для К. п. (1), представляющего собой (вообще говоря, многозначную) аналитич. функцию в области D. C другой стороны, произвольную аналитич. функцию можно интерпретировать как К. П. нек-рого двумерного потенциального и соленоидального векторного поля. При этом изолированные особые точки моделируют причины, порождающие физич. процесс (источник тепла, сток жидкости, точечный диполь и т.д.). Отмеченная взаимосвязь позволяет в полной мере использовать мощный аппарат комплексного анализа для решения плоских задач математич. физики. По К. П. нетрудно определить все характеристики векторного поля, а именно: поле \[ \boldsymbol{v}=f^{\prime}(z) \] линии тока \[ \psi(x, y)=\operatorname{Im} f(z)=\text { const } \] эквипотенциали \[ \varphi(x, y)=\operatorname{Re} f(z)=\text { const, } \] поток через кривую \[ N=\operatorname{Im} \int_{\partial D} f^{\prime}(z) d z \] циркуляцию вдоль кривой \[ \Gamma=\operatorname{Re} \int_{\partial D} f^{\prime}(z) d z \] Поскольку суперпозиция аналитич. функций является аналитич. функцией, построение К. п. для области $D_{1}$ можно осуществить, если известны потенциал для области $D$ и однолистная функция $\varphi: D_{1} \rightarrow D$, задавая $w=\varphi^{*} f=f \circ \varphi$. Примеры. 1) Векторное поле $v=N / 2 \pi \bar{z}$ с источником мощности $N$ в нуле характеризуется комплексным потенциалом $f(z)=(N / 2 \pi) \log z$. 2) Векторное поле $v=\Gamma i / 2 \pi \bar{z}$ с вихрем интенсивности $\Gamma$ в начале координат описывается комплексным потенциалом $f(z)=(\Gamma i / 2 \pi) \log z$ 3) Векторное поле, порождаемое точечным мультиполем мощности $M$ в начале координат, задается комплексным потенциалом $f(z)=M / 2 \pi z^{p}$. Ю. Е. Хохлов.