КОНСТРУКТИВНАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ

направление квантовой теории поля, основная задача которого состоит в строгом математическом обосновании результатов, получаемых в квантовой теории поля. В отличие от аксиоматической квантовой теории поля, К. К. Т. П. призвана ответить на вопрос, существуют ли в математич. смысле нетривиальные квантованные поля для обычно рассматриваемых взаимодействий и удовлетворяют ли они основным аксиомам квантовой теории поля и аксиоматич. квантовой теории поля. В задачу К. К. т. П. входит реальное построение таких полей, изучение математич. свойств и различных квантовополевых объектов, связанных с этими полями, и выяснение физич. содержания рассматриваемой конкретной модели квантовой теории поля. К. к. т. П. как самостоятельный раздел квантовой теории поля возникла в начале 60-х гг. и связана с именем А. Вайтмана (A. Wightman), к-рый сформулировал ее основную задачу. Вторым этапом развития К. К. Т. П. можно считать $2-ю$ половину $60-x-$ начало 70-х гг. [Дж. Глимм (J. Glimm), А. Джаффе (А. Jaffe) и др.], когда было доказано существование квантованных полей в простейших суперперенормируемых взаимодействиях (см. Перенормировка) в пространстве размерности $d=2$. Третий этап начался в 70-х гг. и связан с применением методов евклидовой теории поля (см. Евклидова квантовая теория поля). Основные теоремы евклидовой квантовой теории поля были доказаны К. Остервальдером (К. Osterwalder) и Р. Шрадером (R. Schrader). В начале 80-х гг. направление К. К. т. П. испытывает кризис, поскольку методы, развитые в пространстве $d=2$, с большим трудом переносятся в пространство $d=3$ и не ясно, что можно сделать в 4-мерном пространстве-времени $(d=4)$. На первом этапе основным объектом изучения К. К. т. П. являлся бесконечный набор Вайтмана функций $\left\{W_{n}\left(x_{1}, \ldots\right.\right.$, $\left.\left.x_{n}\right)\right\}$, где $x_{1}, \ldots, x_{n}, n=1,2,3, \ldots$, - точки пространства-времени $t_{i}, \boldsymbol{x}_{i}$ (используется система единиц, в к-рой $\hbar=c=1$ ). Задание этих функций эквивалентно знанию квантованных полей в смысле аксиоматич. квантовой теории поля (так наз. теорема реконструкции Вайтмана). Функции Вайтмана, вообще говоря, можно было бы вычислить как вакуумные средние от произведения полей. Напр., в простейшем случае однокомпонентного скалярного поля $\varphi(x)$ \[ W_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left\langle 0\left|\varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{n}\right)\right| 0\right\rangle, \] где гейзенбергово поле $\varphi(x)$ (см. Гейзенберга представление) определяется соотношением \[ \varphi(x)=\varphi(t, \boldsymbol{x})=\exp \{i H t\} \varphi(\boldsymbol{x}) \exp \{-i H t\} . \] Здесь $\varphi(x)$ - «начальное» поле, то есть значение поля $\varphi(t, \boldsymbol{x})$ в точке пространства $\boldsymbol{x}$ в момент времени $t=0$, а \[ H=H[\varphi]=H_{0}[\varphi]+g H_{I}[\varphi] \] - гамильтониан системы, представленный в виде суммы гамильтониана $H_{0}$, описывающего невзаимодействующую систему, и гамильтониана взаимодействия $g H_{I}$, где $g-$ константа связи (квадратные скобки означают функциональную зависимость от поля $\varphi(x))$. Однако наличие расходимостей - объемных, ультрафиолетовых и, возможно, других - делает прямое вычисление по формуле (1) невозможным. Поэтому доказательство существования функций Вайтмана (1) строится следующим образом. В гамильтониан взаимодействия (3) вводятся объемное $(\Lambda)$ и ультрафиолетовые $(\sigma)$ «обрезания», так что регуляризованный гамильтониан $H_{\Lambda \sigma}[\varphi]$ становится хорошо определенным эрмитовым оператором, а для него существует регуляризованный набор функций Вайтмана $\left\{W_{n}(\cdot \mid \Lambda, \sigma)\right\}$, где точка обозначает набор пространственно-временных переменных. Далее к регуляризованному гамильтониану добавляются так наз. контрчлены, структура к-рых предсказывается теорией возмущений и к-рые призваны сократить возникающие расходимости в пределе снятия обрезания. Задачей К. к. т. П. является, во-первых, доказательство существования конечного предела \[ \lim _{\sigma \rightarrow \infty} \lim _{\Lambda \rightarrow \infty} W_{n}(\cdot \mid \Lambda, \sigma)=W_{n}(\cdot) \] при определенном выборе контрчленов и, во-вторых, доказательство того, что полученные предельные функции $\left\{W_{n}(\cdot)\right\}$ удовлетворяют всем требованиям аксиоматич. квантовой теории поля. Математич. трудности при непосредственной реализации этой программы определяются сложностью операторной структуры вводимых контрчленов, что, в свою очередь, диктуется конкретным видом рассматриваемой квантовополевой модели. Наиболее простые контрчлены возникают в так наз. суперперенормируемых теориях, то есть в теориях, где число расходящихся Фейнмана диаграмм конечно. Именно по этой причине первые нетривиальные примеры построения релятивистских локальных квантованных полей были получены в суперперенормируемых моделях, характеризуемых плотностями гамильтониана взаимодействия $\varphi_{2}^{4}$, $P^{n}(\varphi)_{2}, \bar{\psi} \psi \varphi_{2}$, где верхний индекс - степень взаимодействия, а нижний - размерность пространства-времени $d=2$, $P^{n}-$ многочлен степени $n, \psi$ - спинорное Дирака поле (черта над $\psi$ означает дираковское сопряжение). Проведение сформулированной выше программы даже в этих простейших случаях потребовало создания математич. техники операторных оценок специально для изучаемых моделей. Дальнейшее развитие К. к. т. П. связано с переходом к евклидову пространству и применением методов евклидовой теории поля. В аксиоматич. квантовой теории поля было доказано, что функции Вайтмана $W_{n}\left(t_{1}, \boldsymbol{x}_{1} ; \ldots ; t_{n}, \boldsymbol{x}_{n}\right)$ являются граничными значениями аналитич. функций $F_{n}\left(z_{1}^{0}, z_{1} ; \ldots ; z_{n}^{0}, z_{n}\right)$, в область аналитичности к-рых попадают также евклидовы 4-точки $z_{k}$ такие, что $z_{k}^{0}=i \tau_{k}, z_{k}=x_{k}$, где $\tau_{k}$ - «мнимое время». Значения функций $F_{n}\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)$ на множестве евклидовых точек называются функциями Швингера [введены Ю. Швингером (J. Schwinger) в 1951]: \[ S_{n}\left(\tau_{1}, \boldsymbol{x}_{1} ; \ldots ; \tau_{n}, \boldsymbol{x}_{n}\right)=F_{n}\left(i \tau_{1}, \boldsymbol{x}_{1} ; \ldots ; i \tau_{n}, \boldsymbol{x}_{n}\right) \] К. Остервальдер и Р. Шрадер (1975) нашли необходимые и достаточные условия, при выполнении к-рых была доказана эквивалентность теорий, построенных на функциях $W_{n}$ и $S_{n}$. Изучение функций Швингера более удобно по следующим причинам. Во-первых, к решению проблем теории поля привлекаются хорошо разработанные теоретико-вероятностные методы, поскольку функции Швингера можно отождествить со средними от произведения случайных процессов (евклидовых полей): \[ S_{n}\left(\tau_{1}, x_{1} ; \ldots ; \tau_{n}, x_{n}\right)=E\left[\Phi\left(\tau_{1}, x_{1}\right) \ldots \Phi\left(\tau_{n}, x_{n}\right)\right] \] Здесь $E[\Phi]-$ среднее от нек-рой случайной величины $\Phi$, заданной на нек-ром вероятностном пространстве. Было выяснено, что величина Ф(.) должна быть евклидово-ковариантным марковским случайным полем (см. Марковский процесс), удовлетворяющим определенным дополнительным требованиям, и доказано, что эти требования эквивалентны условиям Остервальдера-Шрадера. Во-вторых, переход к евклидовым вероятностным мерам позволил при исследовании проблем, связанных со снятием обрезаний, использовать корректные интегральные представления для регуляризованных функций Швингера $S_{n}(\cdot \mid \Lambda, \sigma)$ и многочисленные методы статистич. физики. Тем самым оказалось, что многие вопросы евклидовой теории эквивалентны проблемам статистич. физики. На этом пути были упрощены доказательства существования функций Вайтмана в модели $P^{n}(\varphi)_{2}$ и доказано их существование в модели $\varphi_{3}^{4}$. Математически развитые методы К. К. Т. П. привели пока к доказательству существования квантованных гейзенберговых полей только в суперперенормируемых моделях квантовой теории поля. Переход к изучению перенормируемых моделей требует привлечения новых идей и методов.

направление квантовой теории поля, основная задача которого состоит в строгом математическом обосновании результатов, получаемых в квантовой теории поля. В отличие от аксиоматической квантовой теории поля, К. К. Т. П. призвана ответить на вопрос, существуют ли в математич. смысле нетривиальные квантованные поля для обычно рассматриваемых взаимодействий и удовлетворяют ли они основным аксиомам квантовой теории поля и аксиоматич. квантовой теории поля. В задачу К. К. т. П. входит реальное построение таких полей, изучение математич. свойств и различных квантовополевых объектов, связанных с этими полями, и выяснение физич. содержания рассматриваемой конкретной модели квантовой теории поля. К. к. т. П. как самостоятельный раздел квантовой теории поля возникла в начале 60-х гг. и связана с именем А. Вайтмана (A. Wightman), к-рый сформулировал ее основную задачу. Вторым этапом развития К. К. Т. П. можно считать $2-ю$ половину $60-x-$ начало 70-х гг. [Дж. Глимм (J. Glimm), А. Джаффе (А. Jaffe) и др.], когда было доказано существование квантованных полей в простейших суперперенормируемых взаимодействиях (см. Перенормировка) в пространстве размерности $d=2$. Третий этап начался в 70-х гг. и связан с применением методов евклидовой теории поля (см. Евклидова квантовая теория поля). Основные теоремы евклидовой квантовой теории поля были доказаны К. Остервальдером (К. Osterwalder) и Р. Шрадером (R. Schrader). В начале 80-х гг. направление К. К. т. П. испытывает кризис, поскольку методы, развитые в пространстве $d=2$, с большим трудом переносятся в пространство $d=3$ и не ясно, что можно сделать в 4-мерном пространстве-времени $(d=4)$. На первом этапе основным объектом изучения К. К. т. П. являлся бесконечный набор Вайтмана функций $\left\{W_{n}\left(x_{1}, \ldots\right.\right.$, $\left.\left.x_{n}\right)\right\}$, где $x_{1}, \ldots, x_{n}, n=1,2,3, \ldots$, - точки пространства-времени $t_{i}, \boldsymbol{x}_{i}$ (используется система единиц, в к-рой $\hbar=c=1$ ). Задание этих функций эквивалентно знанию квантованных полей в смысле аксиоматич. квантовой теории поля (так наз. теорема реконструкции Вайтмана). Функции Вайтмана, вообще говоря, можно было бы вычислить как вакуумные средние от произведения полей. Напр., в простейшем случае однокомпонентного скалярного поля $\varphi(x)$ \[ W_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left\langle 0\left|\varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{n}\right)\right| 0\right\rangle, \] где гейзенбергово поле $\varphi(x)$ (см. Гейзенберга представление) определяется соотношением \[ \varphi(x)=\varphi(t, \boldsymbol{x})=\exp \{i H t\} \varphi(\boldsymbol{x}) \exp \{-i H t\} . \] Здесь $\varphi(x)$ - «начальное» поле, то есть значение поля $\varphi(t, \boldsymbol{x})$ в точке пространства $\boldsymbol{x}$ в момент времени $t=0$, а \[ H=H[\varphi]=H_{0}[\varphi]+g H_{I}[\varphi] \] - гамильтониан системы, представленный в виде суммы гамильтониана $H_{0}$, описывающего невзаимодействующую систему, и гамильтониана взаимодействия $g H_{I}$, где $g-$ константа связи (квадратные скобки означают функциональную зависимость от поля $\varphi(x))$. Однако наличие расходимостей - объемных, ультрафиолетовых и, возможно, других - делает прямое вычисление по формуле (1) невозможным. Поэтому доказательство существования функций Вайтмана (1) строится следующим образом. В гамильтониан взаимодействия (3) вводятся объемное $(\Lambda)$ и ультрафиолетовые $(\sigma)$ «обрезания», так что регуляризованный гамильтониан $H_{\Lambda \sigma}[\varphi]$ становится хорошо определенным эрмитовым оператором, а для него существует регуляризованный набор функций Вайтмана $\left\{W_{n}(\cdot \mid \Lambda, \sigma)\right\}$, где точка обозначает набор пространственно-временных переменных. Далее к регуляризованному гамильтониану добавляются так наз. контрчлены, структура к-рых предсказывается теорией возмущений и к-рые призваны сократить возникающие расходимости в пределе снятия обрезания. Задачей К. к. т. П. является, во-первых, доказательство существования конечного предела \[ \lim _{\sigma \rightarrow \infty} \lim _{\Lambda \rightarrow \infty} W_{n}(\cdot \mid \Lambda, \sigma)=W_{n}(\cdot) \] при определенном выборе контрчленов и, во-вторых, доказательство того, что полученные предельные функции $\left\{W_{n}(\cdot)\right\}$ удовлетворяют всем требованиям аксиоматич. квантовой теории поля. Математич. трудности при непосредственной реализации этой программы определяются сложностью операторной структуры вводимых контрчленов, что, в свою очередь, диктуется конкретным видом рассматриваемой квантовополевой модели. Наиболее простые контрчлены возникают в так наз. суперперенормируемых теориях, то есть в теориях, где число расходящихся Фейнмана диаграмм конечно. Именно по этой причине первые нетривиальные примеры построения релятивистских локальных квантованных полей были получены в суперперенормируемых моделях, характеризуемых плотностями гамильтониана взаимодействия $\varphi_{2}^{4}$, $P^{n}(\varphi)_{2}, \bar{\psi} \psi \varphi_{2}$, где верхний индекс - степень взаимодействия, а нижний - размерность пространства-времени $d=2$, $P^{n}-$ многочлен степени $n, \psi$ - спинорное Дирака поле (черта над $\psi$ означает дираковское сопряжение). Проведение сформулированной выше программы даже в этих простейших случаях потребовало создания математич. техники операторных оценок специально для изучаемых моделей. Дальнейшее развитие К. к. т. П. связано с переходом к евклидову пространству и применением методов евклидовой теории поля. В аксиоматич. квантовой теории поля было доказано, что функции Вайтмана $W_{n}\left(t_{1}, \boldsymbol{x}_{1} ; \ldots ; t_{n}, \boldsymbol{x}_{n}\right)$ являются граничными значениями аналитич. функций $F_{n}\left(z_{1}^{0}, z_{1} ; \ldots ; z_{n}^{0}, z_{n}\right)$, в область аналитичности к-рых попадают также евклидовы 4-точки $z_{k}$ такие, что $z_{k}^{0}=i \tau_{k}, z_{k}=x_{k}$, где $\tau_{k}$ - «мнимое время». Значения функций $F_{n}\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)$ на множестве евклидовых точек называются функциями Швингера [введены Ю. Швингером (J. Schwinger) в 1951]: \[ S_{n}\left(\tau_{1}, \boldsymbol{x}_{1} ; \ldots ; \tau_{n}, \boldsymbol{x}_{n}\right)=F_{n}\left(i \tau_{1}, \boldsymbol{x}_{1} ; \ldots ; i \tau_{n}, \boldsymbol{x}_{n}\right) \] К. Остервальдер и Р. Шрадер (1975) нашли необходимые и достаточные условия, при выполнении к-рых была доказана эквивалентность теорий, построенных на функциях $W_{n}$ и $S_{n}$. Изучение функций Швингера более удобно по следующим причинам. Во-первых, к решению проблем теории поля привлекаются хорошо разработанные теоретико-вероятностные методы, поскольку функции Швингера можно отождествить со средними от произведения случайных процессов (евклидовых полей): \[ S_{n}\left(\tau_{1}, x_{1} ; \ldots ; \tau_{n}, x_{n}\right)=E\left[\Phi\left(\tau_{1}, x_{1}\right) \ldots \Phi\left(\tau_{n}, x_{n}\right)\right] \] Здесь $E[\Phi]-$ среднее от нек-рой случайной величины $\Phi$, заданной на нек-ром вероятностном пространстве. Было выяснено, что величина Ф(.) должна быть евклидово-ковариантным марковским случайным полем (см. Марковский процесс), удовлетворяющим определенным дополнительным требованиям, и доказано, что эти требования эквивалентны условиям Остервальдера-Шрадера. Во-вторых, переход к евклидовым вероятностным мерам позволил при исследовании проблем, связанных со снятием обрезаний, использовать корректные интегральные представления для регуляризованных функций Швингера $S_{n}(\cdot \mid \Lambda, \sigma)$ и многочисленные методы статистич. физики. Тем самым оказалось, что многие вопросы евклидовой теории эквивалентны проблемам статистич. физики. На этом пути были упрощены доказательства существования функций Вайтмана в модели $P^{n}(\varphi)_{2}$ и доказано их существование в модели $\varphi_{3}^{4}$. Математически развитые методы К. К. Т. П. привели пока к доказательству существования квантованных гейзенберговых полей только в суперперенормируемых моделях квантовой теории поля. Переход к изучению перенормируемых моделей требует привлечения новых идей и методов.