КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

взаимно однозначное отображение $f$ риманова или псевдориманова многообразия $M^{n}$ размерности $n$ на себя такое, что индуцированная этим отображением метрика совпадает с исходной с точностью до умножения на скалярную функцию. Если $\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{x}^{1}, \ldots, x^{n}\right)-$ локальная система координат, $g_{i j}(\boldsymbol{x})-$ метрика в $M^{n}$, то $f$ конформно тогда и только тогда, когда \[ g_{i j}(\boldsymbol{x})=\lambda(\boldsymbol{x}) g_{\alpha \beta}(f(\boldsymbol{x})) \partial f^{\alpha} / \partial x^{i} \partial f^{\beta} / \partial x^{j} \] где $\lambda(\boldsymbol{x})$ - нек-рая скалярная функция. Аналогично определяется локальное конформное преобразование - отображение открытой области $U \subset M^{n}$ в $M^{n}$. При $n=1$ все отображения конформны. При $n=2$ на любом римановом многообразии существуют изотермич. координаты $x, y$, в к-рых локальные конформные преобразования отвечают голоморфным и антиголоморфным функциям одного комплексного переменного $z=x+i y$, то есть группа бесконечномерна. В размерностях $n \geqslant 3$ группа локальных конформных преобразований связного риманова многообразия всегда конечномерна и ее размерность не превышает $(n+1)(n+2) / 2$. Теорема Лиувилля: произвольное конформное преобразование области евклидова или псевдоевклидова пространства $\mathbb{R}^{p, q}$ при $p+q \geqslant 3$ представимо в виде композиции изометрии, дилатации (растяжения $\boldsymbol{x} \rightarrow \lambda \boldsymbol{x}$ ) и инверсии $\boldsymbol{x} \rightarrow \boldsymbol{x} /(\overrightarrow{\boldsymbol{x}}, \overrightarrow{\boldsymbol{x}})$, где $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})$ - скалярное произведение.

взаимно однозначное отображение $f$ риманова или псевдориманова многообразия $M^{n}$ размерности $n$ на себя такое, что индуцированная этим отображением метрика совпадает с исходной с точностью до умножения на скалярную функцию. Если $\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{x}^{1}, \ldots, x^{n}\right)-$ локальная система координат, $g_{i j}(\boldsymbol{x})-$ метрика в $M^{n}$, то $f$ конформно тогда и только тогда, когда \[ g_{i j}(\boldsymbol{x})=\lambda(\boldsymbol{x}) g_{\alpha \beta}(f(\boldsymbol{x})) \partial f^{\alpha} / \partial x^{i} \partial f^{\beta} / \partial x^{j} \] где $\lambda(\boldsymbol{x})$ - нек-рая скалярная функция. Аналогично определяется локальное конформное преобразование - отображение открытой области $U \subset M^{n}$ в $M^{n}$. При $n=1$ все отображения конформны. При $n=2$ на любом римановом многообразии существуют изотермич. координаты $x, y$, в к-рых локальные конформные преобразования отвечают голоморфным и антиголоморфным функциям одного комплексного переменного $z=x+i y$, то есть группа бесконечномерна. В размерностях $n \geqslant 3$ группа локальных конформных преобразований связного риманова многообразия всегда конечномерна и ее размерность не превышает $(n+1)(n+2) / 2$. Теорема Лиувилля: произвольное конформное преобразование области евклидова или псевдоевклидова пространства $\mathbb{R}^{p, q}$ при $p+q \geqslant 3$ представимо в виде композиции изометрии, дилатации (растяжения $\boldsymbol{x} \rightarrow \lambda \boldsymbol{x}$ ) и инверсии $\boldsymbol{x} \rightarrow \boldsymbol{x} /(\overrightarrow{\boldsymbol{x}}, \overrightarrow{\boldsymbol{x}})$, где $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})$ - скалярное произведение.