КОРОТКИЕ ВОЛНЫ В ПЛАВНОМЕНЯЮЩИХСЯ СРЕДАХ

волны в средах, параметры которых мало меняются на расстояниях порядка длины волны. В таких средах волновое поле локально устроено так же, как и для плоской среды, и в наиболее часто встречающемся случае имеет вид локально плоской волны \[ u=A \exp i(-\omega t+k \boldsymbol{r}) \] где амплитуда $A$, частота $\omega$ и волновой вектор $\boldsymbol{k}$ - медленно меняющиеся функции. Обозначение через $p$ большого параметра задачи - отношения характерного масштаба неоднородности среды к характерной длине волны, приводит к формализму лучевого метода, то есть к выражению для поля в форме: \[ u=\left(A_{0}+\frac{i}{p} A_{1}+\left(\frac{i}{p}\right)^{2} A_{2}+\ldots\right) \exp i p \Sigma(t, r) . \] В случае стационарных сред и гармонич. зависимости поля от $t$, коэффициенты $A_{n}$ не зависят от $t$, а $\Sigma=-\omega t+S(r)$, где $\omega=$ const. Для этого случая подстановка выражения для $u$ в волновой оператор и приравнивание нулю коэффициентов при одинаковых степенях $p$ дает для $S$ уравнение с частными производными первого порядка (уравнение эйконала), а для $A_{n}-$ систему рекуррентных линейных уравнений первого порядка вдоль лучей - характеристик уравнения эйконала. В частности, $A_{0}$ изменяется в соответствии с обычными законами геометрич. оптики, то есть обратно пропорционально корню квадратному из ширины лучевой трубки. Лучевой метод непригоден вблизи огибающей лучей (каустики), а также вблизи линий и точек их фокусировки, где коэффициенты $A_{0}, A_{1}, \ldots$ обращаются в бесконечность. В окрестности простой каустики поле выражается через функцию Эйри и ее производную (см. [1]): \[ u=e^{i p q}\left[M p^{1 / 6} v\left(-p^{2 / 3} \sigma\right)+N p^{-1 / 6} v^{\prime}\left(-p^{2 / 3} \sigma\right)\right] \] где функции $q(\boldsymbol{r}), \sigma(\boldsymbol{r})$ и коэффициенты асимптотич. рядов \[ M=\sum\left(\frac{i}{p}\right)^{n} M_{n}, \quad N=\sum\left(\frac{i}{p}\right)^{n} N_{n} \] регулярны вблизи $C$. Эти функции определяются из условия, что при замене функций $v, v^{\prime}$ на их асимптотич. разложения при $|p| \rightarrow \infty$ выражение (*) переходит в сумму \[ u=u_{+}+u_{-}=\sum A_{n}^{+}\left(\frac{i}{p}\right)^{n} e^{i k S_{+}}+\sum A_{n}^{-}\left(\frac{i}{p}\right)^{n} e^{i k S_{-}}, \] где $u_{+}$соответствует прошедшему через точку наблюдения лучу, коснувшемуся каустики, а $u_{-}$- лучу, еще не прошедшему через каустику. При помощи метода канонич. оператора Маслова для полей в областях сложных фокусировок выписываются интегральные представления. Особый случай составляет распространение волн в широких плавно нерегулярных волноводах, для к-рых $k H \gg 1$, $\varepsilon=H / L \ll 1(k-$ волновое число, $H, L-$ характерные ширина и масштаб продольной неоднородности волновода). Поле в регулярных волноводах - суперпозиция нормальных волн (мод), каждая из к-рых строится разделением переменных. В плавно нерегулярном волноводе при $k H \varepsilon \ll 1$ поле является суммой «адиабатических мод» с профилем в каждом поперечном сечении в виде собственной функции волновода сравнения (регулярного волновода с тем же поперечным сечением) и медленно меняющимися амплитудой и фазовой скоростью. При $k H \varepsilon^{N} \gg 1$, но $k H \varepsilon^{N+1} \ll 1(N>1-$ целое число), каждая из адиабатич. мод приобретает дополнительные зависящие как от продольной, так и от поперечной координаты быстро осциллирующие множители (см. [2], [3]). Этот формализм переносится на трехмерные волноведущие слои (см.[4]). Для описания мод в плавно нерегулярных волноводах развивается лучевой подход (см. [3], [5]). В случае плавного перехода между двумя регулярными волноводами падающая на переход мода возбуждает целый спектр уходящих мод. Для падающей моды с большим номером $n$ число эффективно возбуждаемых уходящих мод имеет порядок $k H f\left(\varepsilon, \frac{n}{k H}\right)$, где $f$ зависит от формы перехода и быстро (для аналитич. переходов - экспоненциально) стремится к нулю при $\varepsilon \rightarrow 0$. Оценки для функции $f$ и амплитуд возбуждаемых мод найдены, хотя и не доказаны строго (см. [6]). Аналогичные результаты получены для падающих мод с малыми номерами (см. [7]). Лит.: [1] Бабич В. М., Булдырев В. С., Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн, М., 1972; [2] Попов А. В., «Радиотехника и электроника», 1977, т. 22, № 8, с. 1577-82; [3] его же, «Доклады АН СССР», 1976, т. 230, № 6, с. 1322-25; [4] Borovikov V.A., Popov A. V., "Wave Motion", 1984, v. 6, p. 525-46; [5] Кинбер Б. Е., Мальцев Н. Е., Токатлы В. И., «Радиотехника и электроника», 1970, т. 15, № 12, с. 2512-21; [6] Боровиков В. А., там же, 1978, т. 23, № 7, с. 1365-76; [7] Мейерова Р. С., Попов А. В., Хозиоский С.А., там же, 1985, т. 30, № 11, с. $2106-13$. В. А. Боровиков.

волны в средах, параметры которых мало меняются на расстояниях порядка длины волны. В таких средах волновое поле локально устроено так же, как и для плоской среды, и в наиболее часто встречающемся случае имеет вид локально плоской волны \[ u=A \exp i(-\omega t+k \boldsymbol{r}) \] где амплитуда $A$, частота $\omega$ и волновой вектор $\boldsymbol{k}$ - медленно меняющиеся функции. Обозначение через $p$ большого параметра задачи - отношения характерного масштаба неоднородности среды к характерной длине волны, приводит к формализму лучевого метода, то есть к выражению для поля в форме: \[ u=\left(A_{0}+\frac{i}{p} A_{1}+\left(\frac{i}{p}\right)^{2} A_{2}+\ldots\right) \exp i p \Sigma(t, r) . \] В случае стационарных сред и гармонич. зависимости поля от $t$, коэффициенты $A_{n}$ не зависят от $t$, а $\Sigma=-\omega t+S(r)$, где $\omega=$ const. Для этого случая подстановка выражения для $u$ в волновой оператор и приравнивание нулю коэффициентов при одинаковых степенях $p$ дает для $S$ уравнение с частными производными первого порядка (уравнение эйконала), а для $A_{n}-$ систему рекуррентных линейных уравнений первого порядка вдоль лучей - характеристик уравнения эйконала. В частности, $A_{0}$ изменяется в соответствии с обычными законами геометрич. оптики, то есть обратно пропорционально корню квадратному из ширины лучевой трубки. Лучевой метод непригоден вблизи огибающей лучей (каустики), а также вблизи линий и точек их фокусировки, где коэффициенты $A_{0}, A_{1}, \ldots$ обращаются в бесконечность. В окрестности простой каустики поле выражается через функцию Эйри и ее производную (см. [1]): \[ u=e^{i p q}\left[M p^{1 / 6} v\left(-p^{2 / 3} \sigma\right)+N p^{-1 / 6} v^{\prime}\left(-p^{2 / 3} \sigma\right)\right] \] где функции $q(\boldsymbol{r}), \sigma(\boldsymbol{r})$ и коэффициенты асимптотич. рядов \[ M=\sum\left(\frac{i}{p}\right)^{n} M_{n}, \quad N=\sum\left(\frac{i}{p}\right)^{n} N_{n} \] регулярны вблизи $C$. Эти функции определяются из условия, что при замене функций $v, v^{\prime}$ на их асимптотич. разложения при $|p| \rightarrow \infty$ выражение (*) переходит в сумму \[ u=u_{+}+u_{-}=\sum A_{n}^{+}\left(\frac{i}{p}\right)^{n} e^{i k S_{+}}+\sum A_{n}^{-}\left(\frac{i}{p}\right)^{n} e^{i k S_{-}}, \] где $u_{+}$соответствует прошедшему через точку наблюдения лучу, коснувшемуся каустики, а $u_{-}$- лучу, еще не прошедшему через каустику. При помощи метода канонич. оператора Маслова для полей в областях сложных фокусировок выписываются интегральные представления. Особый случай составляет распространение волн в широких плавно нерегулярных волноводах, для к-рых $k H \gg 1$, $\varepsilon=H / L \ll 1(k-$ волновое число, $H, L-$ характерные ширина и масштаб продольной неоднородности волновода). Поле в регулярных волноводах - суперпозиция нормальных волн (мод), каждая из к-рых строится разделением переменных. В плавно нерегулярном волноводе при $k H \varepsilon \ll 1$ поле является суммой «адиабатических мод» с профилем в каждом поперечном сечении в виде собственной функции волновода сравнения (регулярного волновода с тем же поперечным сечением) и медленно меняющимися амплитудой и фазовой скоростью. При $k H \varepsilon^{N} \gg 1$, но $k H \varepsilon^{N+1} \ll 1(N>1-$ целое число), каждая из адиабатич. мод приобретает дополнительные зависящие как от продольной, так и от поперечной координаты быстро осциллирующие множители (см. [2], [3]). Этот формализм переносится на трехмерные волноведущие слои (см.[4]). Для описания мод в плавно нерегулярных волноводах развивается лучевой подход (см. [3], [5]). В случае плавного перехода между двумя регулярными волноводами падающая на переход мода возбуждает целый спектр уходящих мод. Для падающей моды с большим номером $n$ число эффективно возбуждаемых уходящих мод имеет порядок $k H f\left(\varepsilon, \frac{n}{k H}\right)$, где $f$ зависит от формы перехода и быстро (для аналитич. переходов - экспоненциально) стремится к нулю при $\varepsilon \rightarrow 0$. Оценки для функции $f$ и амплитуд возбуждаемых мод найдены, хотя и не доказаны строго (см. [6]). Аналогичные результаты получены для падающих мод с малыми номерами (см. [7]). Лит.: [1] Бабич В. М., Булдырев В. С., Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн, М., 1972; [2] Попов А. В., «Радиотехника и электроника», 1977, т. 22, № 8, с. 1577-82; [3] его же, «Доклады АН СССР», 1976, т. 230, № 6, с. 1322-25; [4] Borovikov V.A., Popov A. V., "Wave Motion", 1984, v. 6, p. 525-46; [5] Кинбер Б. Е., Мальцев Н. Е., Токатлы В. И., «Радиотехника и электроника», 1970, т. 15, № 12, с. 2512-21; [6] Боровиков В. А., там же, 1978, т. 23, № 7, с. 1365-76; [7] Мейерова Р. С., Попов А. В., Хозиоский С.А., там же, 1985, т. 30, № 11, с. $2106-13$. В. А. Боровиков.