КОШИ ИНТЕГРАЛ

интегральный оператор вида \[ (K f)(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial D} f(\zeta) \frac{d \zeta}{\zeta-z}, \quad z \in D \] восстанавливающий значения аналитической функции $f$ в $D$ по ее граничным значениям. К. и. впервые встречается в работах О. Коши (A. Cauchy, 1831) и служит основой для интегральной формулы Коши. Обобщением К. и. на случай разомкнутых контуров и плотностей, не представляющих собой граничные значения аналитич. функций, является сингулярный интеграл типа Коши, понимаемый в смысле главного значения. В пространственном случае аналогом К. и. выступает Коши-Лере-Фантаппье интеграл где $\boldsymbol{n}-форма$ \[ (K f)(z)=\frac{1}{(2 \pi i)^{n}} \int_{\gamma} f(\zeta) \frac{\omega^{\prime}(\eta) \wedge \omega(\zeta)}{\langle\eta, \zeta-z\rangle^{n}} \] $(n-1)$-форма \[ \omega(\zeta)=d \zeta^{1} \wedge \ldots \wedge d \zeta^{n} \] \[ \omega^{\prime}(\eta)=\sum_{k=1}(-1)^{k-1} \eta^{k} d \eta^{1} \wedge \ldots \wedge d \eta^{k} \wedge \ldots \wedge d \eta^{n}, \] а $\gamma$ суть $(2 n-1)$-мерный цикл пространства $\mathbb{C}_{\zeta}^{n} \mathbb{C}_{\eta}^{n}$, лежащий над границей области $D \subset \mathbb{C}_{\zeta}^{n}$ и накрывающий ее один раз. Для конкретной области $D \subset \mathbb{C}^{n}$ этот интеграл дает возможность построения целого класса интегральных представлений, среди к-рых наиболее важны для приложений представители с голоморфным ядром. В настоящее время имеются явные формулы для шара, полидиска, аналитич. полиэдров, строго псевдовыпуклых областей, трубчатых областей над конусом, областей Дайсона и др.

интегральный оператор вида \[ (K f)(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial D} f(\zeta) \frac{d \zeta}{\zeta-z}, \quad z \in D \] восстанавливающий значения аналитической функции $f$ в $D$ по ее граничным значениям. К. и. впервые встречается в работах О. Коши (A. Cauchy, 1831) и служит основой для интегральной формулы Коши. Обобщением К. и. на случай разомкнутых контуров и плотностей, не представляющих собой граничные значения аналитич. функций, является сингулярный интеграл типа Коши, понимаемый в смысле главного значения. В пространственном случае аналогом К. и. выступает Коши-Лере-Фантаппье интеграл где $\boldsymbol{n}-форма$ \[ (K f)(z)=\frac{1}{(2 \pi i)^{n}} \int_{\gamma} f(\zeta) \frac{\omega^{\prime}(\eta) \wedge \omega(\zeta)}{\langle\eta, \zeta-z\rangle^{n}} \] $(n-1)$-форма \[ \omega(\zeta)=d \zeta^{1} \wedge \ldots \wedge d \zeta^{n} \] \[ \omega^{\prime}(\eta)=\sum_{k=1}(-1)^{k-1} \eta^{k} d \eta^{1} \wedge \ldots \wedge d \eta^{k} \wedge \ldots \wedge d \eta^{n}, \] а $\gamma$ суть $(2 n-1)$-мерный цикл пространства $\mathbb{C}_{\zeta}^{n} \mathbb{C}_{\eta}^{n}$, лежащий над границей области $D \subset \mathbb{C}_{\zeta}^{n}$ и накрывающий ее один раз. Для конкретной области $D \subset \mathbb{C}^{n}$ этот интеграл дает возможность построения целого класса интегральных представлений, среди к-рых наиболее важны для приложений представители с голоморфным ядром. В настоящее время имеются явные формулы для шара, полидиска, аналитич. полиэдров, строго псевдовыпуклых областей, трубчатых областей над конусом, областей Дайсона и др.