КОШИ ТЕОРЕМА

теорема об обращении в нуль интеграла от аналитической функции, взятого вдоль замкнутого контура. Точнее, пусть функция $f(t)$ аналитична в области $D$, а $\gamma$ - кусочно гладкий контур, лежащий в $D$ и не содержащий внутри себя особенностей функции $f(z)$. Тогда, согласно К. т., контурный интеграл \[ \int_{\gamma} f(z) d z \] равен нулю. Доказана О. Коши (A. Cauchy, 1825). Геометрически К. т. означает, что векторное поле, компонентами к-рого являются, соответственно, вещественная и мнимая части аналитич. функции, потенциально и соленоидально, то есть его дивергенция и ротор равны нулю. Справедливо и обратное утверждение (теорема Мореры): если функция $f(z)$ непрерывна в односвязной области $D$ и такова, что \[ \int_{\gamma} f(z) d z=0 \] для любого кусочно гладкого замкнутого контура $\gamma$, лежащего в $D$, то $f(z)$ аналитична в $D$. К. т. играет важную роль в теории аналитич. функций. На ней основано представление аналитич. функции в виде Коши интеграла, она используется в теории вычетов и т. Д. См. также Дифференциальное уравнение; аналитическая теория.

теорема об обращении в нуль интеграла от аналитической функции, взятого вдоль замкнутого контура. Точнее, пусть функция $f(t)$ аналитична в области $D$, а $\gamma$ - кусочно гладкий контур, лежащий в $D$ и не содержащий внутри себя особенностей функции $f(z)$. Тогда, согласно К. т., контурный интеграл \[ \int_{\gamma} f(z) d z \] равен нулю. Доказана О. Коши (A. Cauchy, 1825). Геометрически К. т. означает, что векторное поле, компонентами к-рого являются, соответственно, вещественная и мнимая части аналитич. функции, потенциально и соленоидально, то есть его дивергенция и ротор равны нулю. Справедливо и обратное утверждение (теорема Мореры): если функция $f(z)$ непрерывна в односвязной области $D$ и такова, что \[ \int_{\gamma} f(z) d z=0 \] для любого кусочно гладкого замкнутого контура $\gamma$, лежащего в $D$, то $f(z)$ аналитична в $D$. К. т. играет важную роль в теории аналитич. функций. На ней основано представление аналитич. функции в виде Коши интеграла, она используется в теории вычетов и т. Д. См. также Дифференциальное уравнение; аналитическая теория.