КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

задача, в которой из некоторого класса функций, определенных в данной области, требуется найти ту, которая удовлетворяет на границе (крае) этой области заданным условиям. Функции, описывающие конкретные явления природы (физич., химич. и др.), как правило, представляют собой решения уравнений математич. физики, выведенных из общих законов, к-рым подчиняются эти явления. Когда рассматриваемые уравнения допускают целые семейства решений, дополнительно задают так наз. краевые (граничные) или начальные условия, позволяющие однозначно выделить интересующее нас решение. В то время как краевые условия задаются исключительно на граничных точках области, где ищется решение, начальные условия могут оказаться заданными на определенном множестве точек внутри области. Напр., уравнение \[ \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}^{2}}=0 \] имеет бесконечное множество решений \[ u\left(x_{1}, x_{2}\right)=f\left(x_{1}+x_{2}\right)+f_{1}\left(x_{1}-x_{2}\right), \] где $f$ и $f_{1}$ - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Однако в прямоугольнике $-a \leqslant x_{2} \leqslant a$, $0 \leqslant x_{1} \leqslant l$, плоскости с прямоугольными декартовыми координатами $x_{1}, x_{2}$ уравнение (1) имеет единственное решение $u\left(x_{1}, x_{2}\right)$, удовлетворяющее краевым и начальным \[ u\left(0, x_{2}\right)=0, u\left(l, x_{2}\right)=0,-a \leqslant x_{2} \leqslant a, \] \[ \left.\begin{array}{c} u\left(x_{1}, 0\right)=\varphi\left(x_{1}\right), \\ \left.\frac{\partial u\left(x_{1}, x_{2}\right)}{\partial x_{2}}\right|_{x_{2}=0}=\psi\left(x_{1}\right), \quad 0 \leqslant x_{1} \leqslant l, \end{array}\right\} \] условиям. При этом соответственно дважды и один раз непрерывно дифференцируемые функции $\varphi$ и $\psi$ считаются наперед заданными. Если переменное $x_{2}$ есть время $t$, то решение $u(x, t)$ уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2) и (3), описывает колебание упругой струны длины $l$ с концами, закрепленными в точках $(0,0)$ и $(0, l)$. Изложенная задача нахождения решения уравнения (1) при условиях (2) и (3) - простейший пример так наз. смешанной задачи. Вообще, краевыми называют задачи, в к-рых в заданной области $G$ пространства независимых переменных $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=x$ ищется решение $u(x)=u\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ уравнения \[ D u(x)=0, x \in G, \] при требовании, что искомая функция $u(x)$ на границе $S$ в области $G$ удовлетворяет краевому (граничному) условию \[ B u(y)=0, y \in S, \] где $D$ и $B$ - заданные операторы, причем, как правило, $D-$ дифференциальный или интегро-дифференциальный оператор. Граница $S$ называется носителем краевых данных (5). Когда операторы $D$ и $B$ линейны, К. з. (4), (5) называется линейной. В предположениях, что $S$ является $(n-1)-$ мерной гиперповерхностью, $D-$ линейным дифференциальным оператором 2-го порядка \[ D u(x) \equiv \sum_{i, j=1}^{n} A_{i j}(x) \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{i} \partial x_{j}}+\sum_{i=1}^{n} B_{i}(x) \frac{\partial u}{\partial x_{i}}+C(x) u-F(x), \] а \[ B u(y) \equiv \dot{u}(y)-f(y), \] где $A_{i j}, B_{i}, C, F, f$ - заданные функции, задача (4), (5) называется первой краевой задачей, или Дирихле задачей. Если же \[ B u(y) \equiv \sum_{i=1}^{n} a_{i}(y) \frac{\partial u}{\partial y_{i}}-f(y), \] где $a_{i}, i=1, \ldots, n, f$ - заданные функции, то задача (4), (5) называется задачей с наклонной (косой) производной. В частности, когда вектор $\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$ совпадает с конормалью к $S$, задача с наклонной производной носит название второй краевой задачи, или Неймана задачи. Задача Дирихле (Неймана) называется однородной, если \[ F(x)=0, f(y)=0 . \] Задачи Дирихле и Неймана хорошо исследованы в ограниченных областях с достаточно гладкой границей в случае равномерной эллиптичности оператора $D$ с действительными коэффициентами. При требовании достаточной гладкости коэффициентов операторов $D$ и $\boldsymbol{B}$ и равномерной эллиптичности оператора $D$ справедливы следующие утверждения: 1) число $k$ линейно независимых решений однородной задачи Дирихле (Неймана) конечно; 2) для разрешимости задачи Дирихле (Неймана) необходимо и достаточно, чтобы функции $F(x)$ и $f(y)$ были подчинены дополнительным ограничениям типа условий ортогональности, число к-рых равно $k$; 3) при соблюдении условия $C(x) \leqslant 0, x \in G$, задача Дирихле всегда имеет, и притом единственное, решение; 4) в области $G$ достаточно малого диаметра задача Дирихле всегда имеет, и притом единственное, решение и 5) при однозначной разрешимости задачи Дирихле (Неймана) малое изменение краевых данных вызывает малое изменение решения (то есть решение устойчиво). Когда дифференциальный оператор $D$ не является эллиптическим, К. з. (4), (5) может вовсе не иметь содержательного смысла, если часть границы $S$ области $G$ не освободить от краевых данных и на структуру носителя краевых данных не наложить определенные (порой весьма сильные) ограничения. Особо ставятся К. з., когда в разных частях рассматриваемой области $G$ дифференциальный оператор $D$ принадлежит различным (эллиптич., гиперболич. и параболич.) типам [то есть когда уравнение (4) является уравнением смешанного типа].

задача, в которой из некоторого класса функций, определенных в данной области, требуется найти ту, которая удовлетворяет на границе (крае) этой области заданным условиям. Функции, описывающие конкретные явления природы (физич., химич. и др.), как правило, представляют собой решения уравнений математич. физики, выведенных из общих законов, к-рым подчиняются эти явления. Когда рассматриваемые уравнения допускают целые семейства решений, дополнительно задают так наз. краевые (граничные) или начальные условия, позволяющие однозначно выделить интересующее нас решение. В то время как краевые условия задаются исключительно на граничных точках области, где ищется решение, начальные условия могут оказаться заданными на определенном множестве точек внутри области. Напр., уравнение \[ \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}^{2}}=0 \] имеет бесконечное множество решений \[ u\left(x_{1}, x_{2}\right)=f\left(x_{1}+x_{2}\right)+f_{1}\left(x_{1}-x_{2}\right), \] где $f$ и $f_{1}$ - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Однако в прямоугольнике $-a \leqslant x_{2} \leqslant a$, $0 \leqslant x_{1} \leqslant l$, плоскости с прямоугольными декартовыми координатами $x_{1}, x_{2}$ уравнение (1) имеет единственное решение $u\left(x_{1}, x_{2}\right)$, удовлетворяющее краевым и начальным \[ u\left(0, x_{2}\right)=0, u\left(l, x_{2}\right)=0,-a \leqslant x_{2} \leqslant a, \] \[ \left.\begin{array}{c} u\left(x_{1}, 0\right)=\varphi\left(x_{1}\right), \\ \left.\frac{\partial u\left(x_{1}, x_{2}\right)}{\partial x_{2}}\right|_{x_{2}=0}=\psi\left(x_{1}\right), \quad 0 \leqslant x_{1} \leqslant l, \end{array}\right\} \] условиям. При этом соответственно дважды и один раз непрерывно дифференцируемые функции $\varphi$ и $\psi$ считаются наперед заданными. Если переменное $x_{2}$ есть время $t$, то решение $u(x, t)$ уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2) и (3), описывает колебание упругой струны длины $l$ с концами, закрепленными в точках $(0,0)$ и $(0, l)$. Изложенная задача нахождения решения уравнения (1) при условиях (2) и (3) - простейший пример так наз. смешанной задачи. Вообще, краевыми называют задачи, в к-рых в заданной области $G$ пространства независимых переменных $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=x$ ищется решение $u(x)=u\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ уравнения \[ D u(x)=0, x \in G, \] при требовании, что искомая функция $u(x)$ на границе $S$ в области $G$ удовлетворяет краевому (граничному) условию \[ B u(y)=0, y \in S, \] где $D$ и $B$ - заданные операторы, причем, как правило, $D-$ дифференциальный или интегро-дифференциальный оператор. Граница $S$ называется носителем краевых данных (5). Когда операторы $D$ и $B$ линейны, К. з. (4), (5) называется линейной. В предположениях, что $S$ является $(n-1)-$ мерной гиперповерхностью, $D-$ линейным дифференциальным оператором 2-го порядка \[ D u(x) \equiv \sum_{i, j=1}^{n} A_{i j}(x) \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{i} \partial x_{j}}+\sum_{i=1}^{n} B_{i}(x) \frac{\partial u}{\partial x_{i}}+C(x) u-F(x), \] а \[ B u(y) \equiv \dot{u}(y)-f(y), \] где $A_{i j}, B_{i}, C, F, f$ - заданные функции, задача (4), (5) называется первой краевой задачей, или Дирихле задачей. Если же \[ B u(y) \equiv \sum_{i=1}^{n} a_{i}(y) \frac{\partial u}{\partial y_{i}}-f(y), \] где $a_{i}, i=1, \ldots, n, f$ - заданные функции, то задача (4), (5) называется задачей с наклонной (косой) производной. В частности, когда вектор $\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$ совпадает с конормалью к $S$, задача с наклонной производной носит название второй краевой задачи, или Неймана задачи. Задача Дирихле (Неймана) называется однородной, если \[ F(x)=0, f(y)=0 . \] Задачи Дирихле и Неймана хорошо исследованы в ограниченных областях с достаточно гладкой границей в случае равномерной эллиптичности оператора $D$ с действительными коэффициентами. При требовании достаточной гладкости коэффициентов операторов $D$ и $\boldsymbol{B}$ и равномерной эллиптичности оператора $D$ справедливы следующие утверждения: 1) число $k$ линейно независимых решений однородной задачи Дирихле (Неймана) конечно; 2) для разрешимости задачи Дирихле (Неймана) необходимо и достаточно, чтобы функции $F(x)$ и $f(y)$ были подчинены дополнительным ограничениям типа условий ортогональности, число к-рых равно $k$; 3) при соблюдении условия $C(x) \leqslant 0, x \in G$, задача Дирихле всегда имеет, и притом единственное, решение; 4) в области $G$ достаточно малого диаметра задача Дирихле всегда имеет, и притом единственное, решение и 5) при однозначной разрешимости задачи Дирихле (Неймана) малое изменение краевых данных вызывает малое изменение решения (то есть решение устойчиво). Когда дифференциальный оператор $D$ не является эллиптическим, К. з. (4), (5) может вовсе не иметь содержательного смысла, если часть границы $S$ области $G$ не освободить от краевых данных и на структуру носителя краевых данных не наложить определенные (порой весьма сильные) ограничения. Особо ставятся К. з., когда в разных частях рассматриваемой области $G$ дифференциальный оператор $D$ принадлежит различным (эллиптич., гиперболич. и параболич.) типам [то есть когда уравнение (4) является уравнением смешанного типа].