КРАМЕРСА-КРОНИГА СООТНОШЕНИЯ

дисперсионные соотношения для комплексного показателя преломления \[ \tilde{n}(\omega)=n(\omega)-i x(\omega) \] среды с частотной дисперсией, связывающие ее показатель преломления $n(\omega)$ и коэффициент поглощения $x(\omega)(\omega-$ частота электромагнитной волны): \[ n(\omega)=1+\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{d x^{2} x(x)}{x^{2}-\omega^{2}}=n(0)+\frac{\omega^{2}}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{d x^{2} x(x)}{x^{2}\left(x^{2}-\omega^{2}\right)} \] (прямое К.-К.с.); \[ x(\omega)=-\frac{2 \omega}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{d x n(x)}{x^{2}-\omega^{2}} \] (обратное К.-К.с.). Установлены Х. Крамерсом (H. Kramers) и Р. Кронигом (R. Kronig) в 1927. К.-К. с. отражают аналитичность функции $\widetilde{n}(\omega)$ в верхней полуплоскости частоты $\omega$, рассматриваемой как комплексная переменная. Физически К.-К. с. выражают существование жесткой связи дисперсии световой волны (зависимости показателя преломления $n$ от $\omega$ ) и ее поглощения. Уже для простейшей среды - идеального атомарного газа с \[ \tilde{n}(\omega)=1+\frac{2 \pi e^{2} N}{m} \sum_{k} \frac{f_{0 k}}{\omega_{0 k}^{2}-\omega^{2}-i \gamma} \] $\left(N-\right.$ концентрация атомов, $\omega_{0 k}$ и $f_{0 k}-$ частота перехода и сила осцилляторов для $k$-го атомного уровня, $\boldsymbol{e}$ и $m-$ заряд и масса электрона, $\gamma$ - слабое затухание) вблизи каждой линии перехода обнаруживаются связанные друг с другом дисперсия и поглощение света. К.-К. с. показывают, что такая связь существует для любой среды безотносительно к конкретным механизмам дисперсии и поглощения. В частности, у непоглощающей (прозрачной) во всей области частот среды не было бы и дисперсии. Будучи частным (и исторически первым) примером дисперсионных соотношений, К.-К. с. имеют универсальную форму, не зависящую от структуры и динамики среды. Они выводятся из общего принципа причинности, примененного к электродинамич. функциям отклика. Однако поскольку связь комплексного показателя преломления $\widetilde{n}$ с этими функциями в общем случае сложна, вывод об аналитичности функции $\widetilde{n}(\omega)$ можно сделать не всегда и соответственно К.-К. с. оказываются справедливыми далеко не для всех типов сред. Так, в случае однородной изотропной среды с пространственной дисперсией $\widetilde{n}(\omega)$ определяется (неявно) уравнением \[ \begin{gathered} \tilde{n}(\omega)=\left[\varepsilon_{t}(\omega, q)\right]^{1 / 2}=[\varepsilon(\omega, q) \mu(\omega, q)]^{1 / 2}, \\ \cdots \quad q^{2}=\tilde{n}^{2} \omega^{2} / c^{2}, \end{gathered} \] где $\varepsilon-$ обычная (продольная), $\varepsilon_{t}=\varepsilon-q^{2} c^{2}(1 / \mu-1) / \omega^{2}-$ поперечная диэлектрич. проницаемости, $\mu-$ магнитная проницаемость, $q-$ волновой вектор. Хотя функция $\varepsilon_{t}(\omega, q)$ аналитична в верхней полуплоскости $\omega$ и не имеет в этой области нулей [они превратились бы в точки ветвления функции $\widetilde{n}(\omega)$ из-за наличия корня в $(*)]$, зависимость $\varepsilon_{t}$ от $q$ усложняет вид функции $\tilde{n}(\omega)$ и в общем случае лишает нас информации об ее аналитич. свойствах. К.-К. с. во всяком случае справедливы для любого равновесного немагнитного $(\mu=1)$ вещества со слабой пространственной дисперсией $(q l \sim \omega l / c \ll 1, l-$ характерный внутренний параметр среды размерности длины). В этом случае $\varepsilon_{t}(\omega, q) \approx \varepsilon(\omega), \tilde{n}(\omega)=\sqrt{\varepsilon(\omega)}$, где $\varepsilon(\omega)$ аналитична в верхней полуплоскости $\omega$ и не имеет в этой области нулей благодаря условию $\operatorname{Im} \varepsilon \geqslant 0$. Под К.-К. с. в широком смысле часто понимаются дисперсионные соотношения для электродинамич. функций отклика и связанных с ними величин. Сюда относятся функции \[ 1 / \varepsilon(\omega, q), \varepsilon(\omega, 0) \equiv \varepsilon(\omega), 1 /\left[\omega^{2} \varepsilon_{t}(\omega, q)-q^{2} c^{2}\right] \] а также \[ \varepsilon_{t}(\omega, q) \text { и } 1 / \varepsilon_{t}(\omega, q) . \] У функций $\varepsilon(\omega, q)$ и $1 / \mu(\omega, q)$ при достаточной силе взаимодействия между частицами среды [когда $\varepsilon(0, q) \leqslant 0$ ] возникает полюс в верхней полуплоскости $\omega$, нарушающий дисперсионные соотношения. Не существует также К.-К.с. и для $\mu(\omega, q)$, а об аналитич. свойствах функций \[ \mu(\omega, 0) \equiv \mu(\omega) \text { и } 1 / \mu(\omega) \] вообще нет информации. Отсутствие К.-К. с. для перечисленных величин понимается как невозможность их общего и строгого вывода, что не исключает справедливости этих соотношений в отдельных частных случаях. К.-К. с. используются при теоретич. описании свойств среды и особенностей распространения в ней световой волны. В практич. плане они дают возможность определить показатель преломления $n(\omega)$ по приближенному (эмпирическому) виду коэффициента поглощения $x(\omega)$. Лит.: [1] Агранович В. М., Гинзбург В. Л., Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов, М., 1979; [2] Киржниц Д. А., «Успехи физич. наук», 1987, т. 152, $\begin{array}{ll}\text { с. } 399 . & \text { Д. А. Киржниц. } \\ \end{array}$

дисперсионные соотношения для комплексного показателя преломления \[ \tilde{n}(\omega)=n(\omega)-i x(\omega) \] среды с частотной дисперсией, связывающие ее показатель преломления $n(\omega)$ и коэффициент поглощения $x(\omega)(\omega-$ частота электромагнитной волны): \[ n(\omega)=1+\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{d x^{2} x(x)}{x^{2}-\omega^{2}}=n(0)+\frac{\omega^{2}}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{d x^{2} x(x)}{x^{2}\left(x^{2}-\omega^{2}\right)} \] (прямое К.-К.с.); \[ x(\omega)=-\frac{2 \omega}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{d x n(x)}{x^{2}-\omega^{2}} \] (обратное К.-К.с.). Установлены Х. Крамерсом (H. Kramers) и Р. Кронигом (R. Kronig) в 1927. К.-К. с. отражают аналитичность функции $\widetilde{n}(\omega)$ в верхней полуплоскости частоты $\omega$, рассматриваемой как комплексная переменная. Физически К.-К. с. выражают существование жесткой связи дисперсии световой волны (зависимости показателя преломления $n$ от $\omega$ ) и ее поглощения. Уже для простейшей среды - идеального атомарного газа с \[ \tilde{n}(\omega)=1+\frac{2 \pi e^{2} N}{m} \sum_{k} \frac{f_{0 k}}{\omega_{0 k}^{2}-\omega^{2}-i \gamma} \] $\left(N-\right.$ концентрация атомов, $\omega_{0 k}$ и $f_{0 k}-$ частота перехода и сила осцилляторов для $k$-го атомного уровня, $\boldsymbol{e}$ и $m-$ заряд и масса электрона, $\gamma$ - слабое затухание) вблизи каждой линии перехода обнаруживаются связанные друг с другом дисперсия и поглощение света. К.-К. с. показывают, что такая связь существует для любой среды безотносительно к конкретным механизмам дисперсии и поглощения. В частности, у непоглощающей (прозрачной) во всей области частот среды не было бы и дисперсии. Будучи частным (и исторически первым) примером дисперсионных соотношений, К.-К. с. имеют универсальную форму, не зависящую от структуры и динамики среды. Они выводятся из общего принципа причинности, примененного к электродинамич. функциям отклика. Однако поскольку связь комплексного показателя преломления $\widetilde{n}$ с этими функциями в общем случае сложна, вывод об аналитичности функции $\widetilde{n}(\omega)$ можно сделать не всегда и соответственно К.-К. с. оказываются справедливыми далеко не для всех типов сред. Так, в случае однородной изотропной среды с пространственной дисперсией $\widetilde{n}(\omega)$ определяется (неявно) уравнением \[ \begin{gathered} \tilde{n}(\omega)=\left[\varepsilon_{t}(\omega, q)\right]^{1 / 2}=[\varepsilon(\omega, q) \mu(\omega, q)]^{1 / 2}, \\ \cdots \quad q^{2}=\tilde{n}^{2} \omega^{2} / c^{2}, \end{gathered} \] где $\varepsilon-$ обычная (продольная), $\varepsilon_{t}=\varepsilon-q^{2} c^{2}(1 / \mu-1) / \omega^{2}-$ поперечная диэлектрич. проницаемости, $\mu-$ магнитная проницаемость, $q-$ волновой вектор. Хотя функция $\varepsilon_{t}(\omega, q)$ аналитична в верхней полуплоскости $\omega$ и не имеет в этой области нулей [они превратились бы в точки ветвления функции $\widetilde{n}(\omega)$ из-за наличия корня в $(*)]$, зависимость $\varepsilon_{t}$ от $q$ усложняет вид функции $\tilde{n}(\omega)$ и в общем случае лишает нас информации об ее аналитич. свойствах. К.-К. с. во всяком случае справедливы для любого равновесного немагнитного $(\mu=1)$ вещества со слабой пространственной дисперсией $(q l \sim \omega l / c \ll 1, l-$ характерный внутренний параметр среды размерности длины). В этом случае $\varepsilon_{t}(\omega, q) \approx \varepsilon(\omega), \tilde{n}(\omega)=\sqrt{\varepsilon(\omega)}$, где $\varepsilon(\omega)$ аналитична в верхней полуплоскости $\omega$ и не имеет в этой области нулей благодаря условию $\operatorname{Im} \varepsilon \geqslant 0$. Под К.-К. с. в широком смысле часто понимаются дисперсионные соотношения для электродинамич. функций отклика и связанных с ними величин. Сюда относятся функции \[ 1 / \varepsilon(\omega, q), \varepsilon(\omega, 0) \equiv \varepsilon(\omega), 1 /\left[\omega^{2} \varepsilon_{t}(\omega, q)-q^{2} c^{2}\right] \] а также \[ \varepsilon_{t}(\omega, q) \text { и } 1 / \varepsilon_{t}(\omega, q) . \] У функций $\varepsilon(\omega, q)$ и $1 / \mu(\omega, q)$ при достаточной силе взаимодействия между частицами среды [когда $\varepsilon(0, q) \leqslant 0$ ] возникает полюс в верхней полуплоскости $\omega$, нарушающий дисперсионные соотношения. Не существует также К.-К.с. и для $\mu(\omega, q)$, а об аналитич. свойствах функций \[ \mu(\omega, 0) \equiv \mu(\omega) \text { и } 1 / \mu(\omega) \] вообще нет информации. Отсутствие К.-К. с. для перечисленных величин понимается как невозможность их общего и строгого вывода, что не исключает справедливости этих соотношений в отдельных частных случаях. К.-К. с. используются при теоретич. описании свойств среды и особенностей распространения в ней световой волны. В практич. плане они дают возможность определить показатель преломления $n(\omega)$ по приближенному (эмпирическому) виду коэффициента поглощения $x(\omega)$. Лит.: [1] Агранович В. М., Гинзбург В. Л., Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов, М., 1979; [2] Киржниц Д. А., «Успехи физич. наук», 1987, т. 152, $\begin{array}{ll}\text { с. } 399 . & \text { Д. А. Киржниц. } \\ \end{array}$