КРИТИЧЕСКАЯ ТОЧКА ФУНКЦИИ

точка области определения, в которой дифференциал функции равен нулю. К. т. функции $f: \mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{C}$ общего положения невырождены. В окрестности такой К. т. функция приводится к сумме квадратов гладкой заменой переменных (см. Морса лемма). Классификация ростков функций в К.т. (относительно действия группы гладких замен переменных) связана с группами Вейля серий $A, D, E$. Всякий росток функции в простой (см. ниже) К. т. приводится голоморфной заменой переменных к одной из следующих нормальных форм: \[ \begin{array}{lr} x_{1}^{k+1}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} & \text { (тип } A_{k} \text { ); } \\ x_{1}^{2} x_{2}+x_{2}^{k-1}+x_{3}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} & \left(k \geqslant 4, \text { тип } D_{k}\right) ; \\ x_{1}^{3}+x_{2}^{4}+x_{3}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} & \text { (тип } \left.E_{6}\right) ; \\ x_{1}^{3}+x_{1} x_{2}^{3}+x_{3}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} & \text { (тип } \left.E_{7}\right) ; \\ x_{2}^{3}+x_{2}^{5}+x_{3}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} & \text { (тип } \left.E_{8}\right) \end{array} \] (см. [1]). Невырожденная К. т. имеет тип $A_{1}$. К. т. ростка $f$ функции называется простой, если достаточно малая окрестность $f$ (в пространстве ростков) пересекается лишь с конечным числом орбит действия группы голоморфных замен переменных. Простейшие не простые К. т. составляют три однопараметрич. семейства: \[ \begin{array}{lr} x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+\alpha x_{1} x_{2} x_{3}+x_{4}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} & \left(\alpha^{3}+27 \neq 0, \text { тип } P_{8}\right) ; \\ x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+\alpha x_{1}^{2} x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} & \left(\alpha^{2} \neq 4, \text { тип } X_{9}\right) ; \\ x_{1}^{3}+x_{2}^{6}+\alpha x_{1}^{2} x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} & \left(4 \alpha^{3}+27 \neq 0, \text { тип } J_{10}\right) . \end{array} \] К. т. с разным значением параметра $\alpha$ не эквивалентны (то есть не переводятся друг в друга заменой переменных). Пусть $F(\cdot, \lambda)$ - общее семейство функций, зависящих от дополнительных параметров $\alpha$. Для почти всех $\lambda$ функция $F(\cdot, \lambda)$ имеет лишь невырожденные К. т. При исключительных значениях параметров $\lambda$ функция $F(\cdot, \lambda)$ может иметь невырожденные К. т. В общем семействе функций, зависящих от одного параметра $\lambda$, при исключительных значениях $\lambda$ могут встретиться лишь К. т. типа $A_{2}$ (неустранимые малым шевелением семейства). В двупараметрич. общем семействе кроме $A_{2}$ могут встречаться еще К. т. типа $A_{3}$. В трехпараметрическом - еще типов $A_{4}, D_{4}$. В четырехпараметрическом $-A_{5}, D_{5}$. В пятипараметрическом $-A_{6}, D_{6}$, $E_{6}$. При числе параметров 6 и более в семействе общего положения встречаются не простые К. т. Критич. точка типа (B) называется примыкающей к К.т. типа (C) (обозначение (B) $\leftarrow$ (C)), если при малом шевелении ростка функции с К. т. типа (C) можно получить росток с К. т. типа (B). Все примыкания простых К. т. выглядят так: \[ \begin{gathered} A_{1} \leftarrow A_{2} \leftarrow A_{3} \leftarrow A_{4} \leftarrow A_{5} \leftarrow A_{6} \leftarrow A_{7} \leftarrow A_{8} \leftarrow \ldots \\ \leftarrow D_{4} \leftarrow D_{5} \leftarrow D_{6} \leftarrow D_{7} \leftarrow D_{8} \leftarrow \ldots \\ E_{6} \leftarrow E_{7} \leftarrow E_{8} \\ \leftarrow \\ P_{8} \leftarrow X_{9} \leftarrow J_{10} . \end{gathered} \] Ко всякой не простой К. т. примыкает одна из К. т. типов $P_{8}, X_{9}, J_{10}$ (см. [1]). См. также Вариационное исчисление в целом, Риманова поверхность.

точка области определения, в которой дифференциал функции равен нулю. К. т. функции $f: \mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{C}$ общего положения невырождены. В окрестности такой К. т. функция приводится к сумме квадратов гладкой заменой переменных (см. Морса лемма). Классификация ростков функций в К.т. (относительно действия группы гладких замен переменных) связана с группами Вейля серий $A, D, E$. Всякий росток функции в простой (см. ниже) К. т. приводится голоморфной заменой переменных к одной из следующих нормальных форм: \[ \begin{array}{lr} x_{1}^{k+1}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} & \text { (тип } A_{k} \text { ); } \\ x_{1}^{2} x_{2}+x_{2}^{k-1}+x_{3}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} & \left(k \geqslant 4, \text { тип } D_{k}\right) ; \\ x_{1}^{3}+x_{2}^{4}+x_{3}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} & \text { (тип } \left.E_{6}\right) ; \\ x_{1}^{3}+x_{1} x_{2}^{3}+x_{3}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} & \text { (тип } \left.E_{7}\right) ; \\ x_{2}^{3}+x_{2}^{5}+x_{3}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} & \text { (тип } \left.E_{8}\right) \end{array} \] (см. [1]). Невырожденная К. т. имеет тип $A_{1}$. К. т. ростка $f$ функции называется простой, если достаточно малая окрестность $f$ (в пространстве ростков) пересекается лишь с конечным числом орбит действия группы голоморфных замен переменных. Простейшие не простые К. т. составляют три однопараметрич. семейства: \[ \begin{array}{lr} x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+\alpha x_{1} x_{2} x_{3}+x_{4}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} & \left(\alpha^{3}+27 \neq 0, \text { тип } P_{8}\right) ; \\ x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+\alpha x_{1}^{2} x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} & \left(\alpha^{2} \neq 4, \text { тип } X_{9}\right) ; \\ x_{1}^{3}+x_{2}^{6}+\alpha x_{1}^{2} x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} & \left(4 \alpha^{3}+27 \neq 0, \text { тип } J_{10}\right) . \end{array} \] К. т. с разным значением параметра $\alpha$ не эквивалентны (то есть не переводятся друг в друга заменой переменных). Пусть $F(\cdot, \lambda)$ - общее семейство функций, зависящих от дополнительных параметров $\alpha$. Для почти всех $\lambda$ функция $F(\cdot, \lambda)$ имеет лишь невырожденные К. т. При исключительных значениях параметров $\lambda$ функция $F(\cdot, \lambda)$ может иметь невырожденные К. т. В общем семействе функций, зависящих от одного параметра $\lambda$, при исключительных значениях $\lambda$ могут встретиться лишь К. т. типа $A_{2}$ (неустранимые малым шевелением семейства). В двупараметрич. общем семействе кроме $A_{2}$ могут встречаться еще К. т. типа $A_{3}$. В трехпараметрическом - еще типов $A_{4}, D_{4}$. В четырехпараметрическом $-A_{5}, D_{5}$. В пятипараметрическом $-A_{6}, D_{6}$, $E_{6}$. При числе параметров 6 и более в семействе общего положения встречаются не простые К. т. Критич. точка типа (B) называется примыкающей к К.т. типа (C) (обозначение (B) $\leftarrow$ (C)), если при малом шевелении ростка функции с К. т. типа (C) можно получить росток с К. т. типа (B). Все примыкания простых К. т. выглядят так: \[ \begin{gathered} A_{1} \leftarrow A_{2} \leftarrow A_{3} \leftarrow A_{4} \leftarrow A_{5} \leftarrow A_{6} \leftarrow A_{7} \leftarrow A_{8} \leftarrow \ldots \\ \leftarrow D_{4} \leftarrow D_{5} \leftarrow D_{6} \leftarrow D_{7} \leftarrow D_{8} \leftarrow \ldots \\ E_{6} \leftarrow E_{7} \leftarrow E_{8} \\ \leftarrow \\ P_{8} \leftarrow X_{9} \leftarrow J_{10} . \end{gathered} \] Ко всякой не простой К. т. примыкает одна из К. т. типов $P_{8}, X_{9}, J_{10}$ (см. [1]). См. также Вариационное исчисление в целом, Риманова поверхность.