КРУТАЯ ФУНКЦИЯ

функция, удовлетворяющая условиям общности положения, называемым условиями крутизны и введенным Н. Н. Нехорошевым (см. [2]) в связи с проблемой оценки скорости эволюции в возмущен- ных гамильтоновых системах (Нехорошева теорема). Функция $H_{0}$, заданная в окрестности точки $I \in \mathbb{R}^{n}$, называется крутой в точке $I$ на плоскости $\alpha$, если найдутся числа $c>0, \delta>0$ и $\alpha \geqslant 1$ такие, что \[ \sup _{0 \leqslant \eta \leqslant \xi} \inf _{\left\{I^{\prime} \in \lambda:\left|I^{\prime}-I\right|=\eta\right\}}\left|\operatorname{grad}\left(H_{0} \mid \lambda\right)\right|_{I^{\prime}}>C \xi^{\alpha} \] при всех $\xi \in(0, \delta)$. Здесь $\lambda-$ плоскость в $\mathbb{R}^{n}$, проходящая через точку $I, \operatorname{dim} \lambda \neq 0$, a grad $\left(\left.H_{0}\right|_{\lambda}\right)-$ градиент сужения $H_{0}$ на $\lambda$. Постоянные $C$ и $\delta$ называются коэффициентами крутизны, а $\alpha-$ показателем крутизны. Функция $H_{0}$ называется крутой в точке $I$, если: 1) $\left|\operatorname{grad} H_{0 \mid l}\right|>g$, где $g>0$, и 2) при $n \geqslant 2$ для каждого $r=1$, ..., $n-1$ существуют числа $C_{r}>0, \delta_{r}>0, \alpha_{r} \geqslant 1$ такие, что функция $H_{0}$ будет крутой в точке $I$ на каждой плоскости размерности $r$, перпендикулярной вектору grad $\left.H_{0}\right|_{I}$ с коэффициентами $C_{r}, \delta_{r}$ и показателем $\alpha_{r}$. Функция $H_{0}$ называется крутой в области $G$ с коэффициентами $g, C_{1}, \ldots, C_{n-1}, \delta_{1}, \ldots, \delta_{n-1}$ и показателями $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n-1}$, если эта функция крутая в каждой точке $I \in G$ с этими коэффициентами и показателем $\alpha_{r}$. Некрутые функции бесконечно вырождены: если функция $H_{0} \in C^{\infty}$ не является крутой ни в какой окрестности точки $I$, где grad $H_{0} \neq 0$, то коэффициенты Тейлора разложения $H_{0}$ в этой точке удовлетворяют бесконечному числу независимых алгебраич. соотношений (см. [3]). Аналитич. функция, определенная в окрестности замыкания ограниченной области $G \subset \mathbb{R}^{n}$, не имеющая критич. точек и такая, что ее ограничение на любую плоскость имеет лишь комплексно-изолированные критич. точки,- К. Ф. (см. [1]). Лит.: [1] Ильяшенко Ю. С., «Успехи математич. наук», 1986, т. 41, в. 1, с. 193-94; [2] Нехорошев Н. Н., «Функциональный анализ и его приложения», 1971, т. 5, в. 4, с. 82-83; [3] его же, «Труды семинара им. И. Г. Петровского», 1979, в. 5, с. 5-50. А. И. Нейштадт

функция, удовлетворяющая условиям общности положения, называемым условиями крутизны и введенным Н. Н. Нехорошевым (см. [2]) в связи с проблемой оценки скорости эволюции в возмущен- ных гамильтоновых системах (Нехорошева теорема). Функция $H_{0}$, заданная в окрестности точки $I \in \mathbb{R}^{n}$, называется крутой в точке $I$ на плоскости $\alpha$, если найдутся числа $c>0, \delta>0$ и $\alpha \geqslant 1$ такие, что \[ \sup _{0 \leqslant \eta \leqslant \xi} \inf _{\left\{I^{\prime} \in \lambda:\left|I^{\prime}-I\right|=\eta\right\}}\left|\operatorname{grad}\left(H_{0} \mid \lambda\right)\right|_{I^{\prime}}>C \xi^{\alpha} \] при всех $\xi \in(0, \delta)$. Здесь $\lambda-$ плоскость в $\mathbb{R}^{n}$, проходящая через точку $I, \operatorname{dim} \lambda \neq 0$, a grad $\left(\left.H_{0}\right|_{\lambda}\right)-$ градиент сужения $H_{0}$ на $\lambda$. Постоянные $C$ и $\delta$ называются коэффициентами крутизны, а $\alpha-$ показателем крутизны. Функция $H_{0}$ называется крутой в точке $I$, если: 1) $\left|\operatorname{grad} H_{0 \mid l}\right|>g$, где $g>0$, и 2) при $n \geqslant 2$ для каждого $r=1$, ..., $n-1$ существуют числа $C_{r}>0, \delta_{r}>0, \alpha_{r} \geqslant 1$ такие, что функция $H_{0}$ будет крутой в точке $I$ на каждой плоскости размерности $r$, перпендикулярной вектору grad $\left.H_{0}\right|_{I}$ с коэффициентами $C_{r}, \delta_{r}$ и показателем $\alpha_{r}$. Функция $H_{0}$ называется крутой в области $G$ с коэффициентами $g, C_{1}, \ldots, C_{n-1}, \delta_{1}, \ldots, \delta_{n-1}$ и показателями $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n-1}$, если эта функция крутая в каждой точке $I \in G$ с этими коэффициентами и показателем $\alpha_{r}$. Некрутые функции бесконечно вырождены: если функция $H_{0} \in C^{\infty}$ не является крутой ни в какой окрестности точки $I$, где grad $H_{0} \neq 0$, то коэффициенты Тейлора разложения $H_{0}$ в этой точке удовлетворяют бесконечному числу независимых алгебраич. соотношений (см. [3]). Аналитич. функция, определенная в окрестности замыкания ограниченной области $G \subset \mathbb{R}^{n}$, не имеющая критич. точек и такая, что ее ограничение на любую плоскость имеет лишь комплексно-изолированные критич. точки,- К. Ф. (см. [1]). Лит.: [1] Ильяшенко Ю. С., «Успехи математич. наук», 1986, т. 41, в. 1, с. 193-94; [2] Нехорошев Н. Н., «Функциональный анализ и его приложения», 1971, т. 5, в. 4, с. 82-83; [3] его же, «Труды семинара им. И. Г. Петровского», 1979, в. 5, с. 5-50. А. И. Нейштадт