КРУЧЕНИЕ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ $\Gamma_{j k}^{i}$ НА МНОГООБРАЗИИ $M^{n}$

величина $S_{j k}^{i}$, определяемая равенством \[ S_{j k}^{i}=\Gamma_{j k}^{i}-\Gamma_{k j}^{i} \] Набор $S_{j k}^{i}$ задает тензорное поле. Кручение $x$ кривой $\boldsymbol{r}(s)$ в трехмерном пространстве $\mathbb{R}^{3}$ определяется из равенства ( $s$ - натуральный параметр): \[ \frac{d \boldsymbol{b}}{d s}=-x \frac{d \boldsymbol{n}}{d s} \] где \[ \boldsymbol{n}=\frac{d^{2} \boldsymbol{r}}{d s^{2}} /\left|\frac{d^{2} \boldsymbol{r}}{d s^{2}}\right| \] - орт главной нормали, а \[ \boldsymbol{b}=\left[\frac{d \boldsymbol{r}}{d s}, \boldsymbol{n}\right] \] - орт бинормали. Если кривая $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)$ отнесена к произвольной параметризации $t$, то К. $x$ вычисляется по формуле \[ x=\frac{\left(\frac{d r}{d t}, \frac{d^{2} r}{d t^{2}}, \frac{d^{3} r}{d t^{3}}\right)}{\left[\frac{d r}{d t}, \frac{d^{2} r}{d t^{2}}\right]^{2}} . \] В. В. Трофимов.

величина $S_{j k}^{i}$, определяемая равенством \[ S_{j k}^{i}=\Gamma_{j k}^{i}-\Gamma_{k j}^{i} \] Набор $S_{j k}^{i}$ задает тензорное поле. Кручение $x$ кривой $\boldsymbol{r}(s)$ в трехмерном пространстве $\mathbb{R}^{3}$ определяется из равенства ( $s$ - натуральный параметр): \[ \frac{d \boldsymbol{b}}{d s}=-x \frac{d \boldsymbol{n}}{d s} \] где \[ \boldsymbol{n}=\frac{d^{2} \boldsymbol{r}}{d s^{2}} /\left|\frac{d^{2} \boldsymbol{r}}{d s^{2}}\right| \] - орт главной нормали, а \[ \boldsymbol{b}=\left[\frac{d \boldsymbol{r}}{d s}, \boldsymbol{n}\right] \] - орт бинормали. Если кривая $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)$ отнесена к произвольной параметризации $t$, то К. $x$ вычисляется по формуле \[ x=\frac{\left(\frac{d r}{d t}, \frac{d^{2} r}{d t^{2}}, \frac{d^{3} r}{d t^{3}}\right)}{\left[\frac{d r}{d t}, \frac{d^{2} r}{d t^{2}}\right]^{2}} . \] В. В. Трофимов.