ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ

1) Лагранжа уравнения 1-го рода - дифференциальные уравнения движения механической системы, которые даны в проекциях на прямоугольные координатные оси и содержат так наз. множители Лагранжа. Получены Ж. Лагранжем (J. Lagrange, 1788). Для голономной системы, состоящей из $n$ материальных точек, на к-рую наложено $k$ связей вида: \[ f_{i}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1} ; \ldots ; x_{n}, y_{n}, z_{n} ; t\right)=0, \quad i=1,2, \ldots, k, \] Л. у. 1-го рода имеют вид: \[ \left.\begin{array}{c} m_{v} \ddot{x}_{v}=F_{v x}+\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{v}}, \\ m_{v} \ddot{y}_{v}=F_{v y}+\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial y_{v}}, \\ m_{v} \ddot{z}_{v}=F_{v z}+\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial z_{v}}, \\ v=1,2, \ldots, n, \end{array}\right\} . \] где $m_{v}-$ массы точек системы; $x_{v}, y_{v}, z_{v}$ - координаты этих точек; $F_{v x}, F_{v y}, F_{v z}-$ проекции приложенных к каждой точке активных сил; $\lambda_{i}-$ неопределенные множители, пропорциональные реакциям соответствующих связей; $t-$ время. Аналогичные уравнения могут составляться и для неголономных систем. Уравнения (2) совместно с (1) дают сис- тему $3 n+k$ дифференциальных уравнений, из к-рых находятся $3 n$ неизвестных функций $x_{v}(t), y_{v}(t), z_{v}(t)$, дающих закон движения точек системы, и $k$ множителей $\lambda_{i}(t)$, позволяющих определить проекции реакций связей по формулам \[ \begin{gathered} N_{v x}=\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{v}}, \quad N_{v y}=\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial y_{v}}, \\ N_{v z}=\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial z_{v}} . \end{gathered} \] Для отыскания закона движения уравнениями (2) пользуются редко, так как интегрирование системы $3 n+k$ уравнений, когда $n$ велико, связано с большими трудностями. Однако если закон движения будет найден другим путем (напр., с помошью уравнений Лагранжа 2-го рода), то по уравнениям (2), в к-рых левые части известны, можно определять реакции связей. 2) Лагранжа уравнения 2-го рода - дифференциальные уравнения движения механич. системы, в к-рых параметрами, определяющими положение системы, являются независимые между собой обобщенные координаты. Для голономных систем Л. у. 2-го рода имеют в общем случае вид: \[ \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}=Q_{i}, \quad i=1,2, \ldots, s, \] где $q_{i}$ - обобщенные координаты, число к-рых равно числу $s$ степеней свободы системы, $\dot{q}_{i}-$ обобщенные скорости, $Q_{i}$ - обобщенные силы. Для составления уравнений (3) надо, выбрав $q_{i}$, определить кинетич. энергию системы в ее движении относительно инерциальной системы отсчета и выразить эту величину явно через $q_{i}$ и $\dot{q}_{i}$, то есть найти $T\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right)$; время войдет сюда при нестационарных связях. Значения $Q_{i}$ находятся по заданным (активным) силам, в число к-рых при неидеальных связях включают и силы трения. С математич. точки зрения уравнения (3) представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка относительно координат $q_{i}$; интегрируя эти уравнения и определяя постоянные интегрирования по начальным условиям, находят $q_{i}(t)$, то есть закон движения системы в обобщенных координатах. По сравнению с уравнениями в декартовых координатах (см., напр., уравнения Лагранжа 1-го рода) уравнения (3) обладают тем важным преимуществом, что число их равно числу степеней свободы системы и не зависит от количества входящих в систему материальных частиц или тел; кроме того, при идеальных связях из уравнений (3) автоматически исключаются все наперед неизвестные реакции связей. Л. у. 2-го рода, дающими весьма общий и притом достаточно простой метод решения задач, широко пользуются для изучения движения различных механич. систем, в частности в динамике механизмов и машин, в теории гироскопа, в теории колебаний и др. Для неголономной системы, на к-рую, кроме геометрич. связей, учитываемых выбором координат $q_{i}$, наложено еще $k$ дифференциальных связей, выражаемых равенствами \[ A_{x 0}+\sum_{i=1}^{k} A_{x i} \dot{q}_{i}=0, \quad x=1,2, \ldots, k, \] Л. у. 2-го рода принимают вид: \[ \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}=Q_{i}+\sum_{x=1}^{k} \mu_{\chi} A_{x i}, \quad i=1,2, \ldots, s . \] Уравнения (5) совместно с (4) дают возможность определить $s$ неизвестных координат $q_{i}$ и $k$ наперед неизвестных множителей $\mu_{x}$ как функций времени. В физике особое значение имеет та форма Л. у., к-рую они принимают в случае голономной системы, находящейся под действием одних только потенциальных сил (см. Консервативная система). Если ввести Лагранжа функцию (лагранжиан) $L$, равную в этом случае разности между кинетической $T$ и потенциальной $П$ энергиями системы: \[ L\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right)=T\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right)-\Pi\left(q_{i}\right), \] то, так как для потенциальных сил $Q_{i}=-\partial \Pi / \partial q_{i}$, равенства (3) примут вид: \[ \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0 . \] Уравнения в форме (6) обычно называют в физике уравнениями Лагранжа. Преимущество этих уравнений состоит в том, что они позволяют изучить движение механич. системы, зная для нее одну только функцию $L$, полностью характеризующую систему. Такая форма уравнений имеет место не только для консервативных систем. Если обобщенные силы можно представить через нек-рый «обобщенный потенциал» $P\left(q_{i}, \dot{q}_{i}\right)$ в виде \[ Q_{i}=\frac{\partial P}{\partial q_{i}}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial P}{\partial \dot{q}_{i}}\right) \] то уравнения (3) представляются тоже в виде (6), где $L=$ $=T+P$. Напр., для заряженной частицы массы $m$ с зарядом $q$, движущейся в электромагнитное поле, к-рое характеризуется векторным $\boldsymbol{A}$ и скалярным $\varphi$ потенциалами, существует «обобщенный потенциал» \[ P=\frac{q}{c} A v-q \varphi \quad \text { и } \quad L=\frac{m v^{2}}{2}-q \varphi+\frac{q}{c} A v, \] где $\boldsymbol{v}-$ скорость частицы, $c$ - скорость света. Область приложения уравнений (6) оказывается еще более широкой благодаря их связи с наименьшего действия принципом. Согласно этому принципу, для истинного движения системы величина \[ S=\int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t \] называемая действием, имеет экстремум, условие существования к-рого состоит в том, что функция $L$ должна удовлетворять уравнениям Эйлера, совпадающим с уравнениями (6). Отсюда следует, что уравнения вида (6) справедливы для любой физич. системы (непрерывная среда, гравитационное или электромагнитное поле и др.), к-рая характеризуется соответствующей функцией Лагранжа и подчиняется вариационному принципу, аналогичному принципу наименьшего действия. Для среды или поля, представляющих собой систему с бесконечным числом степеней свободы, роль обобщенных координат $q_{i}$ играют такие величины, как смещение частицы, плотность, потенциал и т. п., зависящие в общем случае от координат $x, y, z$ точек среды (поля) и от времени; поэтому для такой среды (поля) $q_{i}=q_{i}(x, y, z, t)$. Характеристикой системы в этих случаях служит удельная (отнесенная к единице объема) функция Лагранжа (лагранжиан): \[ L_{0}\left(q_{i}, \frac{\partial q_{i}}{\partial t}, \frac{\partial q_{i}}{\partial x}, \frac{\partial q_{i}}{\partial y}, \frac{\partial q_{i}}{\partial z}, x, y, z, t\right), \] и Л.у. для среды (поля) принимают вид: \[ \begin{gathered} \frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{\partial L_{0}}{\partial\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial t}\right)}\right]+\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\partial L_{0}}{\partial\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial x}\right)}\right]+\frac{\partial}{\partial y}\left[\frac{\partial L_{0}}{\partial\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial y}\right)}\right]+ \\ +\frac{\partial}{\partial z}\left[\frac{\partial L_{0}}{\partial\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial z}\right)}\right]-\frac{\partial L_{0}}{\partial q_{i}}=0 . \end{gathered} \] Уравнения (7), в отличие от (3) или (6), представляют собой систему уравнений с частными производными; число их равно числу величин $q_{i}$. Примером приложения уравнений (7) к упруго деформируемой среде может служить задача о продольных вдоль оси $\boldsymbol{x}$ колебаниях призматич. стержня. В этом случае имеется одна обобщенная координата $q_{1}=u(x, t)$, где $u$ - продольное смещение частиц стержня, и функция $L_{0}$, составляемая как разность удельных кинетической и потенциальной энергий, имеет вид: \[ L_{0}=\frac{1}{2}\left[\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2}-E\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}\right] \] где $\rho$ - плотность среды, $E$ - модуль упругости при растяжении. Подстановка этого значения $L_{0}$ в (7) дает уравнение продольных упругих колебаний: \[ \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-\frac{E}{\rho} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0 \] Другим примером может служить электромагнитное поле в вакууме, для к-рого в качестве четырех обобщенных координат можно принять компоненты $A_{x}, A_{y}, A_{z}$ векторного потенциала $\boldsymbol{A}$ и скалярный потенциал $\boldsymbol{\varphi}$. В этом случае \[ L_{0}=\frac{E^{2}-B^{2}}{8 \pi}-\rho \varphi+\frac{1}{c} j A, \] где $E-$ напряженность электрич. поля, $B$ - магнитная индукция, $\boldsymbol{j}-$ плотность тока, $\rho$ - удельный заряд. При этом значении $L_{0}$ равенства (7) дают уравнения Максвелла. Л.у. в виде (6) сохраняют смысл и при движениях со скоростями, сравнимыми со скоростью света, но при этом в выражение функции $L$ вместо кинетич. энергии частицы входит величина $-m c^{2} \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}$. См. также Лагранжев формализм.

1) Лагранжа уравнения 1-го рода - дифференциальные уравнения движения механической системы, которые даны в проекциях на прямоугольные координатные оси и содержат так наз. множители Лагранжа. Получены Ж. Лагранжем (J. Lagrange, 1788). Для голономной системы, состоящей из $n$ материальных точек, на к-рую наложено $k$ связей вида: \[ f_{i}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1} ; \ldots ; x_{n}, y_{n}, z_{n} ; t\right)=0, \quad i=1,2, \ldots, k, \] Л. у. 1-го рода имеют вид: \[ \left.\begin{array}{c} m_{v} \ddot{x}_{v}=F_{v x}+\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{v}}, \\ m_{v} \ddot{y}_{v}=F_{v y}+\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial y_{v}}, \\ m_{v} \ddot{z}_{v}=F_{v z}+\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial z_{v}}, \\ v=1,2, \ldots, n, \end{array}\right\} . \] где $m_{v}-$ массы точек системы; $x_{v}, y_{v}, z_{v}$ - координаты этих точек; $F_{v x}, F_{v y}, F_{v z}-$ проекции приложенных к каждой точке активных сил; $\lambda_{i}-$ неопределенные множители, пропорциональные реакциям соответствующих связей; $t-$ время. Аналогичные уравнения могут составляться и для неголономных систем. Уравнения (2) совместно с (1) дают сис- тему $3 n+k$ дифференциальных уравнений, из к-рых находятся $3 n$ неизвестных функций $x_{v}(t), y_{v}(t), z_{v}(t)$, дающих закон движения точек системы, и $k$ множителей $\lambda_{i}(t)$, позволяющих определить проекции реакций связей по формулам \[ \begin{gathered} N_{v x}=\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{v}}, \quad N_{v y}=\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial y_{v}}, \\ N_{v z}=\sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial z_{v}} . \end{gathered} \] Для отыскания закона движения уравнениями (2) пользуются редко, так как интегрирование системы $3 n+k$ уравнений, когда $n$ велико, связано с большими трудностями. Однако если закон движения будет найден другим путем (напр., с помошью уравнений Лагранжа 2-го рода), то по уравнениям (2), в к-рых левые части известны, можно определять реакции связей. 2) Лагранжа уравнения 2-го рода - дифференциальные уравнения движения механич. системы, в к-рых параметрами, определяющими положение системы, являются независимые между собой обобщенные координаты. Для голономных систем Л. у. 2-го рода имеют в общем случае вид: \[ \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}=Q_{i}, \quad i=1,2, \ldots, s, \] где $q_{i}$ - обобщенные координаты, число к-рых равно числу $s$ степеней свободы системы, $\dot{q}_{i}-$ обобщенные скорости, $Q_{i}$ - обобщенные силы. Для составления уравнений (3) надо, выбрав $q_{i}$, определить кинетич. энергию системы в ее движении относительно инерциальной системы отсчета и выразить эту величину явно через $q_{i}$ и $\dot{q}_{i}$, то есть найти $T\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right)$; время войдет сюда при нестационарных связях. Значения $Q_{i}$ находятся по заданным (активным) силам, в число к-рых при неидеальных связях включают и силы трения. С математич. точки зрения уравнения (3) представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка относительно координат $q_{i}$; интегрируя эти уравнения и определяя постоянные интегрирования по начальным условиям, находят $q_{i}(t)$, то есть закон движения системы в обобщенных координатах. По сравнению с уравнениями в декартовых координатах (см., напр., уравнения Лагранжа 1-го рода) уравнения (3) обладают тем важным преимуществом, что число их равно числу степеней свободы системы и не зависит от количества входящих в систему материальных частиц или тел; кроме того, при идеальных связях из уравнений (3) автоматически исключаются все наперед неизвестные реакции связей. Л. у. 2-го рода, дающими весьма общий и притом достаточно простой метод решения задач, широко пользуются для изучения движения различных механич. систем, в частности в динамике механизмов и машин, в теории гироскопа, в теории колебаний и др. Для неголономной системы, на к-рую, кроме геометрич. связей, учитываемых выбором координат $q_{i}$, наложено еще $k$ дифференциальных связей, выражаемых равенствами \[ A_{x 0}+\sum_{i=1}^{k} A_{x i} \dot{q}_{i}=0, \quad x=1,2, \ldots, k, \] Л. у. 2-го рода принимают вид: \[ \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}=Q_{i}+\sum_{x=1}^{k} \mu_{\chi} A_{x i}, \quad i=1,2, \ldots, s . \] Уравнения (5) совместно с (4) дают возможность определить $s$ неизвестных координат $q_{i}$ и $k$ наперед неизвестных множителей $\mu_{x}$ как функций времени. В физике особое значение имеет та форма Л. у., к-рую они принимают в случае голономной системы, находящейся под действием одних только потенциальных сил (см. Консервативная система). Если ввести Лагранжа функцию (лагранжиан) $L$, равную в этом случае разности между кинетической $T$ и потенциальной $П$ энергиями системы: \[ L\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right)=T\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right)-\Pi\left(q_{i}\right), \] то, так как для потенциальных сил $Q_{i}=-\partial \Pi / \partial q_{i}$, равенства (3) примут вид: \[ \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0 . \] Уравнения в форме (6) обычно называют в физике уравнениями Лагранжа. Преимущество этих уравнений состоит в том, что они позволяют изучить движение механич. системы, зная для нее одну только функцию $L$, полностью характеризующую систему. Такая форма уравнений имеет место не только для консервативных систем. Если обобщенные силы можно представить через нек-рый «обобщенный потенциал» $P\left(q_{i}, \dot{q}_{i}\right)$ в виде \[ Q_{i}=\frac{\partial P}{\partial q_{i}}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial P}{\partial \dot{q}_{i}}\right) \] то уравнения (3) представляются тоже в виде (6), где $L=$ $=T+P$. Напр., для заряженной частицы массы $m$ с зарядом $q$, движущейся в электромагнитное поле, к-рое характеризуется векторным $\boldsymbol{A}$ и скалярным $\varphi$ потенциалами, существует «обобщенный потенциал» \[ P=\frac{q}{c} A v-q \varphi \quad \text { и } \quad L=\frac{m v^{2}}{2}-q \varphi+\frac{q}{c} A v, \] где $\boldsymbol{v}-$ скорость частицы, $c$ - скорость света. Область приложения уравнений (6) оказывается еще более широкой благодаря их связи с наименьшего действия принципом. Согласно этому принципу, для истинного движения системы величина \[ S=\int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t \] называемая действием, имеет экстремум, условие существования к-рого состоит в том, что функция $L$ должна удовлетворять уравнениям Эйлера, совпадающим с уравнениями (6). Отсюда следует, что уравнения вида (6) справедливы для любой физич. системы (непрерывная среда, гравитационное или электромагнитное поле и др.), к-рая характеризуется соответствующей функцией Лагранжа и подчиняется вариационному принципу, аналогичному принципу наименьшего действия. Для среды или поля, представляющих собой систему с бесконечным числом степеней свободы, роль обобщенных координат $q_{i}$ играют такие величины, как смещение частицы, плотность, потенциал и т. п., зависящие в общем случае от координат $x, y, z$ точек среды (поля) и от времени; поэтому для такой среды (поля) $q_{i}=q_{i}(x, y, z, t)$. Характеристикой системы в этих случаях служит удельная (отнесенная к единице объема) функция Лагранжа (лагранжиан): \[ L_{0}\left(q_{i}, \frac{\partial q_{i}}{\partial t}, \frac{\partial q_{i}}{\partial x}, \frac{\partial q_{i}}{\partial y}, \frac{\partial q_{i}}{\partial z}, x, y, z, t\right), \] и Л.у. для среды (поля) принимают вид: \[ \begin{gathered} \frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{\partial L_{0}}{\partial\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial t}\right)}\right]+\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\partial L_{0}}{\partial\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial x}\right)}\right]+\frac{\partial}{\partial y}\left[\frac{\partial L_{0}}{\partial\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial y}\right)}\right]+ \\ +\frac{\partial}{\partial z}\left[\frac{\partial L_{0}}{\partial\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial z}\right)}\right]-\frac{\partial L_{0}}{\partial q_{i}}=0 . \end{gathered} \] Уравнения (7), в отличие от (3) или (6), представляют собой систему уравнений с частными производными; число их равно числу величин $q_{i}$. Примером приложения уравнений (7) к упруго деформируемой среде может служить задача о продольных вдоль оси $\boldsymbol{x}$ колебаниях призматич. стержня. В этом случае имеется одна обобщенная координата $q_{1}=u(x, t)$, где $u$ - продольное смещение частиц стержня, и функция $L_{0}$, составляемая как разность удельных кинетической и потенциальной энергий, имеет вид: \[ L_{0}=\frac{1}{2}\left[\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2}-E\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}\right] \] где $\rho$ - плотность среды, $E$ - модуль упругости при растяжении. Подстановка этого значения $L_{0}$ в (7) дает уравнение продольных упругих колебаний: \[ \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-\frac{E}{\rho} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0 \] Другим примером может служить электромагнитное поле в вакууме, для к-рого в качестве четырех обобщенных координат можно принять компоненты $A_{x}, A_{y}, A_{z}$ векторного потенциала $\boldsymbol{A}$ и скалярный потенциал $\boldsymbol{\varphi}$. В этом случае \[ L_{0}=\frac{E^{2}-B^{2}}{8 \pi}-\rho \varphi+\frac{1}{c} j A, \] где $E-$ напряженность электрич. поля, $B$ - магнитная индукция, $\boldsymbol{j}-$ плотность тока, $\rho$ - удельный заряд. При этом значении $L_{0}$ равенства (7) дают уравнения Максвелла. Л.у. в виде (6) сохраняют смысл и при движениях со скоростями, сравнимыми со скоростью света, но при этом в выражение функции $L$ вместо кинетич. энергии частицы входит величина $-m c^{2} \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}$. См. также Лагранжев формализм.