ЛАГРАНЖЕВО МНОГООБРАЗИЕ

$n$-мерное дифференцируемое подмногообразие $L^{n} 2 n$-мерного симплектического многообразия $M^{2 n}$ такое, что внешняя форма $\omega$, задающая симплектическую структуру на $M^{2 n}$, обращается в нуль тождественно на $L^{n}$ (то есть для любой точки $x \in L^{n}$ и любых векторов $X, Y$, касающихся $L^{n}$ в этой точке, $\omega(X, Y)=0)$. В наиболее важном случае, когда $M^{2 n}=\mathbb{R}^{2 n}$ с координатами $\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q^{1}, \ldots, q^{n}\right)$, а \[ \omega=\sum_{i=1}^{n} d p_{i} \wedge d q^{i} \] условие лагранжевости подмногообразия $L^{n}$, заданного параметрич. уравнениями $p_{i}=p_{i}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right), q^{i}=q^{i}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)$, \[ \left[u_{i}, u_{j}\right]=0, i, j=1, \ldots, n, \] где $\left[u_{i}, u_{j}\right]$ - Лагранжа скобки. См. также Маслова канонический оператор, Грассмана лагранжево многообразие, Точное лагранжево многообразие.

$n$-мерное дифференцируемое подмногообразие $L^{n} 2 n$-мерного симплектического многообразия $M^{2 n}$ такое, что внешняя форма $\omega$, задающая симплектическую структуру на $M^{2 n}$, обращается в нуль тождественно на $L^{n}$ (то есть для любой точки $x \in L^{n}$ и любых векторов $X, Y$, касающихся $L^{n}$ в этой точке, $\omega(X, Y)=0)$. В наиболее важном случае, когда $M^{2 n}=\mathbb{R}^{2 n}$ с координатами $\left(p_{1}, \ldots, p_{n}, q^{1}, \ldots, q^{n}\right)$, а \[ \omega=\sum_{i=1}^{n} d p_{i} \wedge d q^{i} \] условие лагранжевости подмногообразия $L^{n}$, заданного параметрич. уравнениями $p_{i}=p_{i}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right), q^{i}=q^{i}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)$, \[ \left[u_{i}, u_{j}\right]=0, i, j=1, \ldots, n, \] где $\left[u_{i}, u_{j}\right]$ - Лагранжа скобки. См. также Маслова канонический оператор, Грассмана лагранжево многообразие, Точное лагранжево многообразие.