ЛАГРАНЖИАН $(\mathscr{L})$

плотность Лагранжа функции $L(t)$ : \[ L(t)=\int d x \mathscr{L}(t, x) \] играет фундаментальную роль в лагранжевом формализме для полевой системы. Задание Л. полностью определяет уравнения движения и сохраняющиеся динамич. величины. Л. является функционалом полей, и вид этого функционала в значительной мере фиксируется физич. требованиями локальности, релятивистской инвариантности, инвариантности относительно групп внутренних симметрий. Благодаря локальности функционал сводится к функции полей $\varphi^{a}(x)$ и (обычно) их первых производных, взятых в одной и той же пространственно-временной точке $x=(t, \boldsymbol{x})$. Строго говоря, требования инвариантности налагаются не на сам Л., а на действие \[ S=\int_{\Omega} \mathscr{L}(x) d x \] В зависимости же $S$ от $\mathscr{L}$ имеется произвол: добавление к $\mathscr{L}$ полной производной любой функции $f(x)$, обращающейся в 0 на границе области интегрирования $\Omega$, не меняет $S$, а также уравнений движения и выражений для сохраняющихся динамич. величин. В релятивистской теории $S$ и (с точностью до этого произвола) $\mathscr{L}$ являются скалярами относительно преобразований Пуанкаре группы. В теории тяготения Л. есть скалярная плотность. В случае внутренних симметрий требования инвариантности не так универсальны: выбор группы симметрии по существу фиксирует модель, описывающую определенный круг физич. явлений. Напр., группой внутренней симметрии, скаляром относительно к-рой должны быть действие и Л., для электродинамики является $U(1)$, для теории электрослабого взаимодействия - $S U(2) \otimes U(1)$, для квантовой хромодинамики $S U(3)$. На языке теории групп в качестве Л. можно взять любую функцию Казимира операторов соответствующей группы. Далее выбор Л. определяется соображениями простоты: чтобы уравнения движения были дифференциальными не выше 2-го порядка, суммарная степень производных в отдельных слагаемых в Л. не должна превышать 2. В реальных ситуациях этих принципов отбора все же не хватает для однозначного выбора Л. В общем случае Л. оказывается полиномом по полям и их производным. Билинейная по ним часть в Л. (кинетические плюс массовые члены) называется свободным Л., а остальные члены образуют Л. взаимодействия. В квантовой теории поля Л. становится оператором, и его выражение через операторы полей требует доопределения. Л. взаимодействия участвует в построении матрицы рассеяния; перенормировка добавляет к нему контрчлены. Взаимодействие с внешним классич. током $j_{a}(x)$ описывается добавлением к Л. члена \[ \sum_{a} j_{a}(x) \varphi^{a}(x) \] Принципиальное для квантовой теории поля требование перенормируемости налагает новые жесткие ограничения на вид Л.; в большинстве реальных моделей остающаяся свобода сводится к выбору небольшого числа констант $\begin{array}{ll}\text { (масс и констант взаимодействия). } & \text { В. П. Павлов. }\end{array}$

плотность Лагранжа функции $L(t)$ : \[ L(t)=\int d x \mathscr{L}(t, x) \] играет фундаментальную роль в лагранжевом формализме для полевой системы. Задание Л. полностью определяет уравнения движения и сохраняющиеся динамич. величины. Л. является функционалом полей, и вид этого функционала в значительной мере фиксируется физич. требованиями локальности, релятивистской инвариантности, инвариантности относительно групп внутренних симметрий. Благодаря локальности функционал сводится к функции полей $\varphi^{a}(x)$ и (обычно) их первых производных, взятых в одной и той же пространственно-временной точке $x=(t, \boldsymbol{x})$. Строго говоря, требования инвариантности налагаются не на сам Л., а на действие \[ S=\int_{\Omega} \mathscr{L}(x) d x \] В зависимости же $S$ от $\mathscr{L}$ имеется произвол: добавление к $\mathscr{L}$ полной производной любой функции $f(x)$, обращающейся в 0 на границе области интегрирования $\Omega$, не меняет $S$, а также уравнений движения и выражений для сохраняющихся динамич. величин. В релятивистской теории $S$ и (с точностью до этого произвола) $\mathscr{L}$ являются скалярами относительно преобразований Пуанкаре группы. В теории тяготения Л. есть скалярная плотность. В случае внутренних симметрий требования инвариантности не так универсальны: выбор группы симметрии по существу фиксирует модель, описывающую определенный круг физич. явлений. Напр., группой внутренней симметрии, скаляром относительно к-рой должны быть действие и Л., для электродинамики является $U(1)$, для теории электрослабого взаимодействия - $S U(2) \otimes U(1)$, для квантовой хромодинамики $S U(3)$. На языке теории групп в качестве Л. можно взять любую функцию Казимира операторов соответствующей группы. Далее выбор Л. определяется соображениями простоты: чтобы уравнения движения были дифференциальными не выше 2-го порядка, суммарная степень производных в отдельных слагаемых в Л. не должна превышать 2. В реальных ситуациях этих принципов отбора все же не хватает для однозначного выбора Л. В общем случае Л. оказывается полиномом по полям и их производным. Билинейная по ним часть в Л. (кинетические плюс массовые члены) называется свободным Л., а остальные члены образуют Л. взаимодействия. В квантовой теории поля Л. становится оператором, и его выражение через операторы полей требует доопределения. Л. взаимодействия участвует в построении матрицы рассеяния; перенормировка добавляет к нему контрчлены. Взаимодействие с внешним классич. током $j_{a}(x)$ описывается добавлением к Л. члена \[ \sum_{a} j_{a}(x) \varphi^{a}(x) \] Принципиальное для квантовой теории поля требование перенормируемости налагает новые жесткие ограничения на вид Л.; в большинстве реальных моделей остающаяся свобода сводится к выбору небольшого числа констант $\begin{array}{ll}\text { (масс и констант взаимодействия). } & \text { В. П. Павлов. }\end{array}$