ЛАКСА ПРЕДСТАВЛЕНМЕ

представление динамической системы \[ \dot{u}_{i}=f_{i}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right), i=1,2, \ldots, n, \] для которой существуют такие матрицы $L, A$ (элементы которых являются функциями от $u_{1}, \ldots, u_{n}$ ), что система (1) эквивалентна уравнению Лакса \[ \dot{L}=[L, A]=L A-A L . \] В этом случае собственные числа матрицы $L$ являются первыми интегралами системы (1). Л. п. содержит спектральный параметр $E$, если матрицы $L(E)$ и $A(E)$ разлагаются в ряд по степеням $E$ и уравнение (2) справедливо в силу системы (1) при всех значениях параметра $E$. В этом случае все коэффициенты разложения функции $\operatorname{Tr}\left(L(E)^{k}\right), k=1,2, \ldots$, по степеням $E$ являются первыми интегралами системы (1). Во многих случаях из Л. п. со спектральным параметром следует возможность явного интегрирования системы (1) в тета-функциях римановых поверхностей, заданных уравнением \[ R(E, w)=\operatorname{det}(L(t, E)-w \cdot 1)=0 . \] Первое Л. п. со спектральным параметром было указано Ф. Кеттером (F. Kötter, 1900) для интегрируемых случаев В. А. Стеклова и А. М. Ляпунова движения твердого тела в жидкости. В 1974 С. В. Манаков и Г. Флашка (H. Flaschka) нашли Л. п. для системы взаимодействующих частиц на прямой (экспоненциальная модель кристаллич. решетки цепочка Тода). Л. п. со спектральным параметром построено для всех классич. интегрируемых случаев динамики твердого тела, имеющего неподвижную точку, и для ряда новых интегрируемых задач механики и математич. физики. См. также Синус-Гордона уравнение.

представление динамической системы \[ \dot{u}_{i}=f_{i}\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right), i=1,2, \ldots, n, \] для которой существуют такие матрицы $L, A$ (элементы которых являются функциями от $u_{1}, \ldots, u_{n}$ ), что система (1) эквивалентна уравнению Лакса \[ \dot{L}=[L, A]=L A-A L . \] В этом случае собственные числа матрицы $L$ являются первыми интегралами системы (1). Л. п. содержит спектральный параметр $E$, если матрицы $L(E)$ и $A(E)$ разлагаются в ряд по степеням $E$ и уравнение (2) справедливо в силу системы (1) при всех значениях параметра $E$. В этом случае все коэффициенты разложения функции $\operatorname{Tr}\left(L(E)^{k}\right), k=1,2, \ldots$, по степеням $E$ являются первыми интегралами системы (1). Во многих случаях из Л. п. со спектральным параметром следует возможность явного интегрирования системы (1) в тета-функциях римановых поверхностей, заданных уравнением \[ R(E, w)=\operatorname{det}(L(t, E)-w \cdot 1)=0 . \] Первое Л. п. со спектральным параметром было указано Ф. Кеттером (F. Kötter, 1900) для интегрируемых случаев В. А. Стеклова и А. М. Ляпунова движения твердого тела в жидкости. В 1974 С. В. Манаков и Г. Флашка (H. Flaschka) нашли Л. п. для системы взаимодействующих частиц на прямой (экспоненциальная модель кристаллич. решетки цепочка Тода). Л. п. со спектральным параметром построено для всех классич. интегрируемых случаев динамики твердого тела, имеющего неподвижную точку, и для ряда новых интегрируемых задач механики и математич. физики. См. также Синус-Гордона уравнение.