ЛАНДАУ-ЛИФШИЦА УРАВНЕНИЕ

Уравнение движения магнитного момента $\boldsymbol{M}(x, t)$ в ферромагнетиках. Сформулировано Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем (1935). Л.-Л.у. имеет вид: \[ \frac{\partial \boldsymbol{M}}{\partial t}=-\frac{g|e|}{m c}\left[\boldsymbol{M}, \boldsymbol{H}^{\ni \Phi}\right]+\boldsymbol{R} . \] Здесь $\boldsymbol{H}^{\text {эф }}$ - эффективное магнитное поле, $\boldsymbol{R}$ - релаксационный член, $g$ - множитель Ланде (A. Landé), $1 \leqslant g \leqslant 2$, $|e|$ - заряд электрона, $m$ - масса электрона, $c$ - скорость света. Эффективное поле представляет собой вариационную производную \[ \boldsymbol{H}^{\ni \Phi}=-\frac{\delta W}{\delta \boldsymbol{M}} \] от энергии ферромагнетика \[ W=\int w\left\{M, \partial M_{i} / \partial x_{k}\right\} d \boldsymbol{x}, \] к-рую, исходя из физич. соображений, можно представить в виде суммы четырех слагаемых: энергии обменного взаимодействия $W_{E}$, энергии анизотропии $W_{A}$, энергии размагничивающих полей $W_{M}$ и энергии магнетика во внешнем магнитном поле $W_{H}$. Плотность энергии обменного взаимодействия имеет вид: \[ w_{E}=\frac{1}{2} f\left(M^{2}\right)+\alpha_{i j} \frac{\partial \boldsymbol{M}}{\partial x_{i}} \frac{\partial \boldsymbol{M}}{\partial x_{j}}, \quad i, j=1,2,3, \] где $\alpha_{i j}$ - тензор обменных постоянных $\alpha_{i j}>0$. Обменное взаимодействие ответственно за упорядочение магнитных моментов в ферромагнетике, имеет квантовомеханич. природу и связано с кулоновским взаимодействием электронов и ядер с учетом принципа Паули. Обменное взаимодействие инвариантно по отношению к вращению магнитных моментов. Энергия магнитной анизотропии $W_{A}$ связана с взаимодействием магнитных моментов атомов ферромагнетика с электрич. полем кристаллич. решетки, а также с дипольным взаимодействием магнитных моментов друг с другом. Плотность энергии магнитной анизотропии в простейшем случае так наз. одноосной анизотропии имеет вид: \[ w_{A}=\frac{1}{2} \beta\left(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{e}_{z}\right)^{2}, \] где $\beta$ - константа магнитной анизотропии, $\boldsymbol{e}_{z}$ - единичный вектор вдоль оси анизотропии. Конкретный вид обменной энергии и энергии магнитной анизотропии определяется симметрией кристалла. Плотность энергии размагничивающих полей $w_{M}$ может быть записана в виде: \[ w_{M}=-\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{H}_{M}\right) \] где $\boldsymbol{H}_{M}$ - размагничивающее поле, к-рое создается магнитными моментами ферромагнетика благодаря дипольному взаимодействию и удовлетворяет уравнениям магнитостатики. Для большинства ферромагнетиков выполняется соотношение $w_{E} \gg w_{A}, w_{M}$. Плотность энергии магнетика $w_{H}$ во внешнем магнитном поле $\boldsymbol{H}$ имеет вид: \[ w_{H}=-(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{H}) . \] Релаксационный член $\boldsymbol{R}$ описывает диссипативные процессы в ферромагнетике. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц предложили следующий вид релаксационного члена: \[ \boldsymbol{R}=\lambda\left[\boldsymbol{M},\left[\boldsymbol{M}, \boldsymbol{H}^{\ni \Phi}\right]\right], \] где $\lambda=$ const, $\lambda>0$. Более удобную для расчетов форму релаксационному члену придал Т. Гильберт (T. Gilbert, 1955): \[ \boldsymbol{R}=\lambda^{\prime}\left[\boldsymbol{M}, \frac{\partial \boldsymbol{M}}{\partial t}\right] \] где $\lambda^{\prime}=$ const, $\lambda^{\prime}>0$. Важным свойством Л.-Л. у. с релаксационными членами (7), (8) является наличие локального интеграла движения $\boldsymbol{M}^{2}(\boldsymbol{x}, t)=\boldsymbol{M}_{0}^{2}(\boldsymbol{x})$. Таким образом, формулы (7), (8) описывают релаксацию направления магнитного момента к равновесному значению. Релаксационный член можно записать следующим образом: \[ \boldsymbol{R}=\hat{\boldsymbol{\gamma}} \boldsymbol{H}^{\text {эФ }}-\gamma_{i j}^{e} \frac{\partial}{\partial x_{i}} \frac{\partial}{\partial x_{j}} \boldsymbol{H}^{э \Phi}, \quad i, j=1,2,3 . \] Здесь $\hat{\gamma}, \gamma_{i j}^{e}-$ тензоры релаксационных постоянных, определяемых симметрией кристалла. Релаксационный член (9) позволяет исследовать релаксацию сильно неоднородных состояний как величины, так и направления магнитного момента. Л.-Л. у. позволяет исследовать существенно нелинейные процессы в ферромагнетиках. Важным свойством Л.-Л. у. в случае одномерного магнетика в приближении $\boldsymbol{R}=0$, $w_{M}=w_{H}=0$ и плотности энергии магнитной анизотропии вида: \[ w_{A}=\frac{1}{2}\left(\beta_{1} M_{z}^{2}+\beta_{2} M_{x}^{2}\right) \] является существование точных решений типа уединенных волн. Л.-Л. у. в этом же приближении было представлено как условие совместимости двух линейных уравнений [предъявлена $(L-A)$-пара], что позволило применить для Л.-Л.у. обратной задачи рассеяния метод.

Уравнение движения магнитного момента $\boldsymbol{M}(x, t)$ в ферромагнетиках. Сформулировано Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем (1935). Л.-Л.у. имеет вид: \[ \frac{\partial \boldsymbol{M}}{\partial t}=-\frac{g|e|}{m c}\left[\boldsymbol{M}, \boldsymbol{H}^{\ni \Phi}\right]+\boldsymbol{R} . \] Здесь $\boldsymbol{H}^{\text {эф }}$ - эффективное магнитное поле, $\boldsymbol{R}$ - релаксационный член, $g$ - множитель Ланде (A. Landé), $1 \leqslant g \leqslant 2$, $|e|$ - заряд электрона, $m$ - масса электрона, $c$ - скорость света. Эффективное поле представляет собой вариационную производную \[ \boldsymbol{H}^{\ni \Phi}=-\frac{\delta W}{\delta \boldsymbol{M}} \] от энергии ферромагнетика \[ W=\int w\left\{M, \partial M_{i} / \partial x_{k}\right\} d \boldsymbol{x}, \] к-рую, исходя из физич. соображений, можно представить в виде суммы четырех слагаемых: энергии обменного взаимодействия $W_{E}$, энергии анизотропии $W_{A}$, энергии размагничивающих полей $W_{M}$ и энергии магнетика во внешнем магнитном поле $W_{H}$. Плотность энергии обменного взаимодействия имеет вид: \[ w_{E}=\frac{1}{2} f\left(M^{2}\right)+\alpha_{i j} \frac{\partial \boldsymbol{M}}{\partial x_{i}} \frac{\partial \boldsymbol{M}}{\partial x_{j}}, \quad i, j=1,2,3, \] где $\alpha_{i j}$ - тензор обменных постоянных $\alpha_{i j}>0$. Обменное взаимодействие ответственно за упорядочение магнитных моментов в ферромагнетике, имеет квантовомеханич. природу и связано с кулоновским взаимодействием электронов и ядер с учетом принципа Паули. Обменное взаимодействие инвариантно по отношению к вращению магнитных моментов. Энергия магнитной анизотропии $W_{A}$ связана с взаимодействием магнитных моментов атомов ферромагнетика с электрич. полем кристаллич. решетки, а также с дипольным взаимодействием магнитных моментов друг с другом. Плотность энергии магнитной анизотропии в простейшем случае так наз. одноосной анизотропии имеет вид: \[ w_{A}=\frac{1}{2} \beta\left(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{e}_{z}\right)^{2}, \] где $\beta$ - константа магнитной анизотропии, $\boldsymbol{e}_{z}$ - единичный вектор вдоль оси анизотропии. Конкретный вид обменной энергии и энергии магнитной анизотропии определяется симметрией кристалла. Плотность энергии размагничивающих полей $w_{M}$ может быть записана в виде: \[ w_{M}=-\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{H}_{M}\right) \] где $\boldsymbol{H}_{M}$ - размагничивающее поле, к-рое создается магнитными моментами ферромагнетика благодаря дипольному взаимодействию и удовлетворяет уравнениям магнитостатики. Для большинства ферромагнетиков выполняется соотношение $w_{E} \gg w_{A}, w_{M}$. Плотность энергии магнетика $w_{H}$ во внешнем магнитном поле $\boldsymbol{H}$ имеет вид: \[ w_{H}=-(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{H}) . \] Релаксационный член $\boldsymbol{R}$ описывает диссипативные процессы в ферромагнетике. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц предложили следующий вид релаксационного члена: \[ \boldsymbol{R}=\lambda\left[\boldsymbol{M},\left[\boldsymbol{M}, \boldsymbol{H}^{\ni \Phi}\right]\right], \] где $\lambda=$ const, $\lambda>0$. Более удобную для расчетов форму релаксационному члену придал Т. Гильберт (T. Gilbert, 1955): \[ \boldsymbol{R}=\lambda^{\prime}\left[\boldsymbol{M}, \frac{\partial \boldsymbol{M}}{\partial t}\right] \] где $\lambda^{\prime}=$ const, $\lambda^{\prime}>0$. Важным свойством Л.-Л. у. с релаксационными членами (7), (8) является наличие локального интеграла движения $\boldsymbol{M}^{2}(\boldsymbol{x}, t)=\boldsymbol{M}_{0}^{2}(\boldsymbol{x})$. Таким образом, формулы (7), (8) описывают релаксацию направления магнитного момента к равновесному значению. Релаксационный член можно записать следующим образом: \[ \boldsymbol{R}=\hat{\boldsymbol{\gamma}} \boldsymbol{H}^{\text {эФ }}-\gamma_{i j}^{e} \frac{\partial}{\partial x_{i}} \frac{\partial}{\partial x_{j}} \boldsymbol{H}^{э \Phi}, \quad i, j=1,2,3 . \] Здесь $\hat{\gamma}, \gamma_{i j}^{e}-$ тензоры релаксационных постоянных, определяемых симметрией кристалла. Релаксационный член (9) позволяет исследовать релаксацию сильно неоднородных состояний как величины, так и направления магнитного момента. Л.-Л. у. позволяет исследовать существенно нелинейные процессы в ферромагнетиках. Важным свойством Л.-Л. у. в случае одномерного магнетика в приближении $\boldsymbol{R}=0$, $w_{M}=w_{H}=0$ и плотности энергии магнитной анизотропии вида: \[ w_{A}=\frac{1}{2}\left(\beta_{1} M_{z}^{2}+\beta_{2} M_{x}^{2}\right) \] является существование точных решений типа уединенных волн. Л.-Л. у. в этом же приближении было представлено как условие совместимости двух линейных уравнений [предъявлена $(L-A)$-пара], что позволило применить для Л.-Л.у. обратной задачи рассеяния метод.