ЛАПЛАСА-БЕЛЬТРАМИ ОПЕРАТОР

дифференциальный оператор на гладком многообразии $M^{n}$ с метрическим тензором $\left(g_{i j}\right)$ вида \[ \Delta f=\nabla_{i} \nabla^{i} f=\operatorname{div}(\operatorname{grad} f)=\frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^{i}}\left(\sqrt{|g|} g^{i j} \frac{\partial f}{\partial x^{j}}\right), \] где $g=\operatorname{det}\left(g_{i j}\right), \nabla_{i}, \nabla^{i}=g^{i j} \nabla_{j}-$ ковариантное дифференцирование в связности, согласованное с метрикой $g_{i j}$. Л.-Б. о. на пространстве дифференциальных форм степени $k$ определяется по формуле $\Delta=d \delta+\delta d$, где $d-$ внешнее дифференцирование, $\delta= \pm(*) d(*)-$ дивергенция формы, $(*)-$ оператор отождествления форм степени $k$ и $n-k$. \section{А. В. Болсинов.}

дифференциальный оператор на гладком многообразии $M^{n}$ с метрическим тензором $\left(g_{i j}\right)$ вида \[ \Delta f=\nabla_{i} \nabla^{i} f=\operatorname{div}(\operatorname{grad} f)=\frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^{i}}\left(\sqrt{|g|} g^{i j} \frac{\partial f}{\partial x^{j}}\right), \] где $g=\operatorname{det}\left(g_{i j}\right), \nabla_{i}, \nabla^{i}=g^{i j} \nabla_{j}-$ ковариантное дифференцирование в связности, согласованное с метрикой $g_{i j}$. Л.-Б. о. на пространстве дифференциальных форм степени $k$ определяется по формуле $\Delta=d \delta+\delta d$, где $d-$ внешнее дифференцирование, $\delta= \pm(*) d(*)-$ дивергенция формы, $(*)-$ оператор отождествления форм степени $k$ и $n-k$. \section{А. В. Болсинов.}