ЛАПЛАСА-БЕЛЬТРАМИ УРАВНЕНИЕ, БЕЛЬТРАМИ УРАВНЕНИЕ

обобщение Лапласа уравнения для функций на плоскости на случай функций $u$ на произвольном двумерном римановом многообразии $R$ класса $C^{2}$. Для поверхности $R$ с локальными координатами $\xi, \eta$ и первой квадратичной формой \[ d s^{2}=E d \xi^{2}+2 F d \xi d \eta+G d \eta^{2} \] Л.-Б. у. имеет вид: \[ \Delta u \equiv \frac{\partial}{\partial \xi}\left(\frac{F \frac{\partial u}{\partial \eta}-G \frac{\partial u}{\partial \xi}}{\sqrt{E G-F^{2}}}\right)+\frac{\partial}{\partial \eta}\left(\frac{F \frac{\partial u}{\partial \xi}-E \frac{\partial u}{\partial \eta}}{\sqrt{E G-F^{2}}}\right)=0 . \] При $E=G$ и $F=0$ уравнение $(*)$ переходит в уравнение Лапласа. Л.-Б. у. было введено Э. Бельтрами (Е. Beltrami, 1864-65). Регулярные решения $u$ Л.-Б. у. являются обобщениями гармонич. функций и называются обычно гармоническими функциями на поверхности $R$. Физически эти решения интерпретируются подобно обычным гармонич. функциям, напр. как потенциал скоростей потока несжимаемой жидкости, текущего по поверхности $\boldsymbol{R}$, или как потенциал электростатич. поля на $R$, и т. п. Гармонич. функции на поверхности сохраняют свойства обычных гармонич. функций. Е. Д. Соломенцев.

обобщение Лапласа уравнения для функций на плоскости на случай функций $u$ на произвольном двумерном римановом многообразии $R$ класса $C^{2}$. Для поверхности $R$ с локальными координатами $\xi, \eta$ и первой квадратичной формой \[ d s^{2}=E d \xi^{2}+2 F d \xi d \eta+G d \eta^{2} \] Л.-Б. у. имеет вид: \[ \Delta u \equiv \frac{\partial}{\partial \xi}\left(\frac{F \frac{\partial u}{\partial \eta}-G \frac{\partial u}{\partial \xi}}{\sqrt{E G-F^{2}}}\right)+\frac{\partial}{\partial \eta}\left(\frac{F \frac{\partial u}{\partial \xi}-E \frac{\partial u}{\partial \eta}}{\sqrt{E G-F^{2}}}\right)=0 . \] При $E=G$ и $F=0$ уравнение $(*)$ переходит в уравнение Лапласа. Л.-Б. у. было введено Э. Бельтрами (Е. Beltrami, 1864-65). Регулярные решения $u$ Л.-Б. у. являются обобщениями гармонич. функций и называются обычно гармоническими функциями на поверхности $R$. Физически эти решения интерпретируются подобно обычным гармонич. функциям, напр. как потенциал скоростей потока несжимаемой жидкости, текущего по поверхности $\boldsymbol{R}$, или как потенциал электростатич. поля на $R$, и т. п. Гармонич. функции на поверхности сохраняют свойства обычных гармонич. функций. Е. Д. Соломенцев.