ЛЕЖАНДРА МНОГОЧЛЕНЫ, СФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ

многочлены, ортогональные на сегменте $[-1,1]$ с единичным весом $\varphi(x)=1$. Стандартизованные Л. м. определяются формулой \[ P_{n}(x)=\frac{1}{n ! 2^{n}} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{2}-1\right)^{n}, \quad n=0,1,2, \ldots, \] и имеют представление \[ P_{n}(x)=\frac{1}{2^{n}} \sum_{k=0}^{[n / 2]} \frac{(-1)^{k}(2 n-2 k) !}{k !(n-k) !(n-2 k) !} x^{n-2 k} . \] Наиболее употребительны формулы \[ \begin{gathered} (n+1) P_{n+1}(x)=(2 n+1) x P_{n}(x)-n P_{n-1}(x), \\ P_{n}(-x)=(-1)^{n} P_{n}(x), P_{n}(1)=1, P_{n}(-1)=(-1)^{n}, \\ \left(1-x^{2}\right) P_{n}^{\prime}(x)=n P_{n-1}(x)-x n P_{n}(x), \\ P_{n+1}^{\prime}(x)-P_{n-1}^{\prime}(x)=(2 n+1) P_{n}(x) . \end{gathered} \] Л. м. можно определить как коэффициенты разложения производящей функции \[ \frac{1}{\sqrt{1-2 x t+t^{2}}}=\sum_{n=0}^{\infty} P_{n}(x) t^{n} \] где ряд в правой части сходится, если $x \in[-1,1]$. Несколько первых стандартизованных Л. м. имеют вид: \[ \begin{gathered} P_{0}(x)=1, P_{1}(x)=x, P_{2}(x)=\left(3 x^{2}-1\right) / 2, \\ P_{3}(x)=\left(5 x^{3}-3 x\right) / 2, P_{4}(x)=\left(35 x^{4}-30 x^{2}+3\right) / 8, \\ P_{5}(x)=\left(63 x^{5}-70 x^{3}+15 x\right) / 8, . \\ P_{6}(x)=\left(231 x^{6}-315 x^{4}+105 x^{2}-5\right) / 16 . \end{gathered} \] Л. м. порядка $n$ удовлетворяет дифференциальному уравнению (уравнению Лежандра) \[ \left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 x \frac{d y}{d x}+n(n+1) y=0, \] к-рое появляется при решении уравнения Лапласа в сферич. координатах методом разделения переменных. Ортонормированные Л. м. имеют вид: \[ \hat{P}_{n}(x)=\sqrt{\frac{2 n+1}{2}} P_{n}(x), \quad n=0,1,2, \ldots, \] и допускают равномерную и весовую оценки \[ \begin{gathered} \left|\hat{P}_{n}(x)\right| \leqslant \sqrt{\frac{2 n+1}{2}}, \quad x \in[-1,1], \\ \left(1-x^{2}\right)^{1 / 4}\left|\hat{P}_{n}(x)\right| \leqslant \sqrt{\frac{2 n+1}{\pi n}}, \quad x \in[-1,1] . \end{gathered} \] Ряды Фурье по Л. м. внутри интервала $(-1,1)$ аналогичны тригонометрич. рядам Фурье; есть теорема о равносходимости этих двух рядов, к-рая означает, что ряд Фурье-Лежандра функции $f(x)$ в точке $x \in(-1,1)$ сходится тогда и только тогда, когда в точке $\theta=\operatorname{arc} \cos x$ сходится тригонометрич. ряд Фурье функции \[ F(\theta)=(\sin \theta)^{1 / 2} f(\cos \theta) . \] В окрестности концов положение иное, ибо последовательность $\left\{\hat{P}_{n}( \pm 1)\right\}$ возрастает со скоростью $\sqrt{n}$. Если функция $f(x)$ на сегменте $[-1,1]$ непрерывна и удовлетворяет условию Липшица порядка $\alpha>1 / 2$, то ряд Фурье-Лежандра сходится к функции $f(x)$ равномерно на всем сегменте $[-1,1]$. При условии $\alpha=1 / 2$ этот ряд, вообще говоря, расходится в точках $x= \pm 1$. Эти многочлены введены А. Лежандром (A. Legendre, 1785).

многочлены, ортогональные на сегменте $[-1,1]$ с единичным весом $\varphi(x)=1$. Стандартизованные Л. м. определяются формулой \[ P_{n}(x)=\frac{1}{n ! 2^{n}} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{2}-1\right)^{n}, \quad n=0,1,2, \ldots, \] и имеют представление \[ P_{n}(x)=\frac{1}{2^{n}} \sum_{k=0}^{[n / 2]} \frac{(-1)^{k}(2 n-2 k) !}{k !(n-k) !(n-2 k) !} x^{n-2 k} . \] Наиболее употребительны формулы \[ \begin{gathered} (n+1) P_{n+1}(x)=(2 n+1) x P_{n}(x)-n P_{n-1}(x), \\ P_{n}(-x)=(-1)^{n} P_{n}(x), P_{n}(1)=1, P_{n}(-1)=(-1)^{n}, \\ \left(1-x^{2}\right) P_{n}^{\prime}(x)=n P_{n-1}(x)-x n P_{n}(x), \\ P_{n+1}^{\prime}(x)-P_{n-1}^{\prime}(x)=(2 n+1) P_{n}(x) . \end{gathered} \] Л. м. можно определить как коэффициенты разложения производящей функции \[ \frac{1}{\sqrt{1-2 x t+t^{2}}}=\sum_{n=0}^{\infty} P_{n}(x) t^{n} \] где ряд в правой части сходится, если $x \in[-1,1]$. Несколько первых стандартизованных Л. м. имеют вид: \[ \begin{gathered} P_{0}(x)=1, P_{1}(x)=x, P_{2}(x)=\left(3 x^{2}-1\right) / 2, \\ P_{3}(x)=\left(5 x^{3}-3 x\right) / 2, P_{4}(x)=\left(35 x^{4}-30 x^{2}+3\right) / 8, \\ P_{5}(x)=\left(63 x^{5}-70 x^{3}+15 x\right) / 8, . \\ P_{6}(x)=\left(231 x^{6}-315 x^{4}+105 x^{2}-5\right) / 16 . \end{gathered} \] Л. м. порядка $n$ удовлетворяет дифференциальному уравнению (уравнению Лежандра) \[ \left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 x \frac{d y}{d x}+n(n+1) y=0, \] к-рое появляется при решении уравнения Лапласа в сферич. координатах методом разделения переменных. Ортонормированные Л. м. имеют вид: \[ \hat{P}_{n}(x)=\sqrt{\frac{2 n+1}{2}} P_{n}(x), \quad n=0,1,2, \ldots, \] и допускают равномерную и весовую оценки \[ \begin{gathered} \left|\hat{P}_{n}(x)\right| \leqslant \sqrt{\frac{2 n+1}{2}}, \quad x \in[-1,1], \\ \left(1-x^{2}\right)^{1 / 4}\left|\hat{P}_{n}(x)\right| \leqslant \sqrt{\frac{2 n+1}{\pi n}}, \quad x \in[-1,1] . \end{gathered} \] Ряды Фурье по Л. м. внутри интервала $(-1,1)$ аналогичны тригонометрич. рядам Фурье; есть теорема о равносходимости этих двух рядов, к-рая означает, что ряд Фурье-Лежандра функции $f(x)$ в точке $x \in(-1,1)$ сходится тогда и только тогда, когда в точке $\theta=\operatorname{arc} \cos x$ сходится тригонометрич. ряд Фурье функции \[ F(\theta)=(\sin \theta)^{1 / 2} f(\cos \theta) . \] В окрестности концов положение иное, ибо последовательность $\left\{\hat{P}_{n}( \pm 1)\right\}$ возрастает со скоростью $\sqrt{n}$. Если функция $f(x)$ на сегменте $[-1,1]$ непрерывна и удовлетворяет условию Липшица порядка $\alpha>1 / 2$, то ряд Фурье-Лежандра сходится к функции $f(x)$ равномерно на всем сегменте $[-1,1]$. При условии $\alpha=1 / 2$ этот ряд, вообще говоря, расходится в точках $x= \pm 1$. Эти многочлены введены А. Лежандром (A. Legendre, 1785).