ЛОРЕНЦА ГРУППА

группа вещественных линейных однородных преобразований 4-векторов \[ x=x^{\mu}=\left\{x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}\right\} \] пространства Минковского $M_{4}$, сохраняющих (индефинитное) скалярное произведение \[ x y=x^{0} y^{0}-x^{1} y^{1}-x^{2} y^{2}-x^{3} y^{3}=g_{\mu v} x^{\mu} y^{\nu}=x^{\mu} y_{\mu}, \] где $g=g_{\mu v}-$ метрический тензор в $M_{4}$ (подразумевается суммирование по повторяющимся индексам). Названа по имени Г. Лоренца (H. Lorentz). Являясь подгруппой группы Пуанкаре (группы симметрии пространства-времени в отсутствие гравитации), Л. г. играет фундаментальную роль в релятивистской теории. Инвариантность действия относительно преобразований Л. г. отражает изотропность пространства-времени и влечет за собой сохранение 4-тензора момента (см. Нетер теорема). Преобразование $\Lambda$ из Л. г. задается вещественной четырехрядной матрицей $\Lambda=\Lambda_{v}^{\mu}$, так что $x^{\mu} \rightarrow x^{\prime \mu}=\Lambda_{v}^{\mu} x_{v}=\Lambda x$. Равенство $\Lambda x \Lambda y=x y$ эквивалентно $\Lambda^{\top} g \Lambda=g\left(\Lambda^{\top}\right.$ транспонирована к $\Lambda$ ) и дает $\operatorname{det} \Lambda= \pm 1,\left|\Lambda_{0}^{0}\right| \geqslant 1$. Л. г. $L$ разбивается на 4 компоненты, связанные между собой в соответствии со знаками $\operatorname{det} \Lambda$ и $\Lambda_{0}^{0}$ : \[ L=L_{+}^{\uparrow}+L_{+}^{\downarrow}+L_{-}^{\uparrow}+L_{-}^{\downarrow}=L_{+}^{\uparrow}+P T L_{+}^{\uparrow}+P L_{+}^{\uparrow}+T L_{+}^{\uparrow} \] Здесь нижний индекс - знак $\operatorname{det} \Lambda$, стрелка $\uparrow(\downarrow)$ отвечает знаку $+(-) \Lambda_{0}^{0} ; P-$ инверсия (отражение) пространства: $(P x)^{0}=x^{0},(P x)^{j}=-x^{j} ; T-$ инверсия времени: $(T x)^{0}=-x^{0}$, $(T x)^{j}=x^{j}, j=1,2,3$. Преобразования с $\operatorname{det} \Delta=1$ называются собственными, с $\Delta_{0}^{0}>0-$ ортохронными. Собственная ортохронная группа $L_{+}^{\uparrow}$ является подгруппой Л. г. Л. г. - шестипараметрич. группа Ли; в $L_{+}^{\uparrow}$ имеются 3 независимых пространственных вращения $R_{i j}(\alpha)$ на угол $\alpha$ в плоскости $\left(x^{i}, x^{j}\right)$ : \[ \begin{gathered} x^{\mu} \rightarrow x^{\mu}, x^{\prime 0}=x^{0}, \\ x^{\prime}=x^{i} \cos \alpha+x^{j} \sin \alpha, \\ x^{\prime}{ }^{j}=x^{j} \cos \alpha-x^{i} \sin \alpha \end{gathered} \] и 3 независимых (частных) Лоренца преобразования - гиперболич. повороты (бусты) $B_{0 k}(\beta)$ на угол $\beta$ в плоскости $\left(x^{0}, x^{k}\right)$ \[ \begin{gathered} x^{\mu} \rightarrow x^{\prime \mu}, x^{\prime 0}=x^{0} \operatorname{ch} \beta+x^{k} \operatorname{sh} \beta, \\ x^{\prime i}=x^{i}, x^{i j}=x^{j}, x^{\prime k}=x^{k} \operatorname{ch} \beta+x^{0} \operatorname{sh} \beta \end{gathered} \] (здесь $i, j, k=1,2,3$ и их циклич. перестановки). Любой элемент $\Lambda$ из $L_{+}^{\uparrow}$ можно однозначно представить в виде $\Lambda=R B$, где $R$ - пространственное вращение вокруг нек-рой оси, а $B$ - гиперболич. поворот в плоскости $\left(x^{0}, n\right)$, где $\boldsymbol{n}-$ нек-рое направление. В приложениях важно соответствие между $L_{+}^{\uparrow}$ и группой $S L(2, \mathbb{C})$ комплексных $(2 \times 2)$-матриц с единичным определителем. Каждому $x^{\mu}$ из $M_{4}$ ставится в соответствие эрмитова матрица \[ X=x^{\mu} \sigma_{\mu}=\left\|\begin{array}{ll} x^{0}+x^{3} & x^{1}-i x^{2} \\ x^{1}+i x^{2} & x^{0}-x^{3} \end{array}\right\|, \] где $\sigma_{0}$ - единичная $(2 \times 2)$-матрица, $\sigma_{j}$ - Паули матрицы; при этом $x^{\mu} x_{\mu}=\operatorname{det} X$ и $x^{\mu}=(1 / 2) \operatorname{Tr}\left(\sigma_{\mu} X\right)$. Тогда каждому преобразованию $X \rightarrow X^{\prime}=S X S^{+}$, где $S \in S L(2, \mathbb{C})$, отвечает преобразование $\Lambda(S) \in L_{+}^{\uparrow}$, причем \[ \Lambda_{v}^{\mu}=(1 / 2) \operatorname{Tr}\left(\sigma_{\mu} S \sigma_{v} S^{+}\right) \] Это соответствие двузначно: $\Lambda(-S)=\Lambda(S)$; вращениям $R$ отвечают унитарные матрицы $V=S\left(S S^{+}\right)^{-1 / 2}$, бустам $B-$ положительно (либо отрицательно) определенные эрмитовы матрицы $H=\left(S S^{+}\right)^{-1 / 2}$, а разложению $\Lambda=R B-$ разложение $S=V H$. Группа $S L(2, \mathbb{C})$ является универсальной накрывающей Л. г., являясь минимальной односвязной группой, гомоморфной Л. г. Параметризации Л. г. с помощью углов поворотов отвечает матричное представление ее генераторов $M_{i j}=i R_{i j}^{\prime}(0)$, $M_{0 k}=i B_{0 k}^{\prime}(0)$ (штрих означает здесь производную по углу). Их алгебра Ли характеризуется перестановочными соотношениями: \[ \left[M_{\mu v}, M_{\rho \sigma}\right]=i\left(g_{\mu \rho} M_{v \sigma}+g_{v \sigma} M_{\mu \rho}-g_{\mu \sigma} M_{v \rho}-g_{v \rho} M_{\mu \sigma}\right) . \] В трехмерных обозначениях удобно перейти к комбинациям \[ \begin{gathered} N_{i}=\left(I_{i}+i K_{i}\right) / 2, N_{i}^{+}=\left(I_{i}-i K_{i}\right) / 2, \\ I_{i}=\varepsilon_{i j k} M^{j k} / 2, K_{i}=M_{0 i}, \end{gathered} \] где $\varepsilon_{i j k}$ - символ Леви-Чивиты. Тогда алгебра (1) расщепляется в прямую сумму двух алгебр Ли группы вращений $O(3)$ : \[ \begin{gathered} {\left[N_{i}, N_{j}\right]=i \varepsilon_{i j k} N_{k},} \\ {\left[N_{i}^{+}, N_{j}^{+}\right]=i \varepsilon_{i j k} N_{k}^{+}, \quad\left[N_{i}, N_{j}^{+}\right]=0 .} \end{gathered} \] Операторы Казимира, коммутирующие со всеми генераторами, имеют вид $C_{1}=N_{i} N_{i}, C_{2}=N_{i}^{+} N_{i}^{+}$. Неприводимые представления Л. г. (точнее, ее подгруппы $L_{+}^{\uparrow}$ ) полностью характеризуются собственными значениями $j_{1}, j_{2}$ операторов $C_{1}, C_{2}$. Для конечномерных представлений удобнее трехмерная реализация (2) алгебры Ли. Вследствие ее расщепления представление $D^{\left(j_{1}, j_{2}\right)}$ Л. г. строится как прямое произведение представлений $D^{(j)}$ группы вращений и имеет размерность $\left(2 j_{1}+1\right)\left(2 j_{2}+1\right)$. Величины, преобразующиеся по представлениям $D^{(1 / 2,0)}$ и $D^{(0,1 / 2)}$, являются спинором и сопряженным спинором, по $D^{(1 / 2,1 / 2)}-4$-вектором и т. д. Полная классификация неприводимых представлений Л. г. описывается в терминах параметров $j_{0}, v$, связанных с собственными значениями операторов Казимира формулами $j_{1}=2\left(j_{0}^{2}+v^{2}-1\right), j_{2}=4 i j_{0} v$; параметр $j_{0}-$ положительное целое или полуцелое число, $v$ - любое комплексное число. Представление конечномерно, когда $j_{0}$ целое или полуцелое и $v^{2}=\left(j_{0}+n\right)^{2}$, где $n$ целое. Представление унитарно, когда: 1) $v$ мнимое; 2) $j_{0}=0$, $v$ вещественно и $|v| \leqslant 1$. Представление Л. г. однозначно при целом и двузначно при полуцелом $j_{0}$. Лит.: [1] Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро З. Я., Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения, М., 1958; [2] Наймарк М. А., Линейные представления группы Лоренца, М., 1958; [3] Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т., Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля, М., 1969; [4] Румер Ю. Б., Фет А. И., Теория групп и квантованные поля, М., 1977; [5] Эллиот Дж., Добер П., Симметрия в физике, пер. с англ., т. 1-2, М., 1983; [6] Рамон П., Теория поля. Современный вводный курс, пер. с англ., М., 1984. С. И. Азаков, В. П. Павлов.

группа вещественных линейных однородных преобразований 4-векторов \[ x=x^{\mu}=\left\{x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}\right\} \] пространства Минковского $M_{4}$, сохраняющих (индефинитное) скалярное произведение \[ x y=x^{0} y^{0}-x^{1} y^{1}-x^{2} y^{2}-x^{3} y^{3}=g_{\mu v} x^{\mu} y^{\nu}=x^{\mu} y_{\mu}, \] где $g=g_{\mu v}-$ метрический тензор в $M_{4}$ (подразумевается суммирование по повторяющимся индексам). Названа по имени Г. Лоренца (H. Lorentz). Являясь подгруппой группы Пуанкаре (группы симметрии пространства-времени в отсутствие гравитации), Л. г. играет фундаментальную роль в релятивистской теории. Инвариантность действия относительно преобразований Л. г. отражает изотропность пространства-времени и влечет за собой сохранение 4-тензора момента (см. Нетер теорема). Преобразование $\Lambda$ из Л. г. задается вещественной четырехрядной матрицей $\Lambda=\Lambda_{v}^{\mu}$, так что $x^{\mu} \rightarrow x^{\prime \mu}=\Lambda_{v}^{\mu} x_{v}=\Lambda x$. Равенство $\Lambda x \Lambda y=x y$ эквивалентно $\Lambda^{\top} g \Lambda=g\left(\Lambda^{\top}\right.$ транспонирована к $\Lambda$ ) и дает $\operatorname{det} \Lambda= \pm 1,\left|\Lambda_{0}^{0}\right| \geqslant 1$. Л. г. $L$ разбивается на 4 компоненты, связанные между собой в соответствии со знаками $\operatorname{det} \Lambda$ и $\Lambda_{0}^{0}$ : \[ L=L_{+}^{\uparrow}+L_{+}^{\downarrow}+L_{-}^{\uparrow}+L_{-}^{\downarrow}=L_{+}^{\uparrow}+P T L_{+}^{\uparrow}+P L_{+}^{\uparrow}+T L_{+}^{\uparrow} \] Здесь нижний индекс - знак $\operatorname{det} \Lambda$, стрелка $\uparrow(\downarrow)$ отвечает знаку $+(-) \Lambda_{0}^{0} ; P-$ инверсия (отражение) пространства: $(P x)^{0}=x^{0},(P x)^{j}=-x^{j} ; T-$ инверсия времени: $(T x)^{0}=-x^{0}$, $(T x)^{j}=x^{j}, j=1,2,3$. Преобразования с $\operatorname{det} \Delta=1$ называются собственными, с $\Delta_{0}^{0}>0-$ ортохронными. Собственная ортохронная группа $L_{+}^{\uparrow}$ является подгруппой Л. г. Л. г. - шестипараметрич. группа Ли; в $L_{+}^{\uparrow}$ имеются 3 независимых пространственных вращения $R_{i j}(\alpha)$ на угол $\alpha$ в плоскости $\left(x^{i}, x^{j}\right)$ : \[ \begin{gathered} x^{\mu} \rightarrow x^{\mu}, x^{\prime 0}=x^{0}, \\ x^{\prime}=x^{i} \cos \alpha+x^{j} \sin \alpha, \\ x^{\prime}{ }^{j}=x^{j} \cos \alpha-x^{i} \sin \alpha \end{gathered} \] и 3 независимых (частных) Лоренца преобразования - гиперболич. повороты (бусты) $B_{0 k}(\beta)$ на угол $\beta$ в плоскости $\left(x^{0}, x^{k}\right)$ \[ \begin{gathered} x^{\mu} \rightarrow x^{\prime \mu}, x^{\prime 0}=x^{0} \operatorname{ch} \beta+x^{k} \operatorname{sh} \beta, \\ x^{\prime i}=x^{i}, x^{i j}=x^{j}, x^{\prime k}=x^{k} \operatorname{ch} \beta+x^{0} \operatorname{sh} \beta \end{gathered} \] (здесь $i, j, k=1,2,3$ и их циклич. перестановки). Любой элемент $\Lambda$ из $L_{+}^{\uparrow}$ можно однозначно представить в виде $\Lambda=R B$, где $R$ - пространственное вращение вокруг нек-рой оси, а $B$ - гиперболич. поворот в плоскости $\left(x^{0}, n\right)$, где $\boldsymbol{n}-$ нек-рое направление. В приложениях важно соответствие между $L_{+}^{\uparrow}$ и группой $S L(2, \mathbb{C})$ комплексных $(2 \times 2)$-матриц с единичным определителем. Каждому $x^{\mu}$ из $M_{4}$ ставится в соответствие эрмитова матрица \[ X=x^{\mu} \sigma_{\mu}=\left\|\begin{array}{ll} x^{0}+x^{3} & x^{1}-i x^{2} \\ x^{1}+i x^{2} & x^{0}-x^{3} \end{array}\right\|, \] где $\sigma_{0}$ - единичная $(2 \times 2)$-матрица, $\sigma_{j}$ - Паули матрицы; при этом $x^{\mu} x_{\mu}=\operatorname{det} X$ и $x^{\mu}=(1 / 2) \operatorname{Tr}\left(\sigma_{\mu} X\right)$. Тогда каждому преобразованию $X \rightarrow X^{\prime}=S X S^{+}$, где $S \in S L(2, \mathbb{C})$, отвечает преобразование $\Lambda(S) \in L_{+}^{\uparrow}$, причем \[ \Lambda_{v}^{\mu}=(1 / 2) \operatorname{Tr}\left(\sigma_{\mu} S \sigma_{v} S^{+}\right) \] Это соответствие двузначно: $\Lambda(-S)=\Lambda(S)$; вращениям $R$ отвечают унитарные матрицы $V=S\left(S S^{+}\right)^{-1 / 2}$, бустам $B-$ положительно (либо отрицательно) определенные эрмитовы матрицы $H=\left(S S^{+}\right)^{-1 / 2}$, а разложению $\Lambda=R B-$ разложение $S=V H$. Группа $S L(2, \mathbb{C})$ является универсальной накрывающей Л. г., являясь минимальной односвязной группой, гомоморфной Л. г. Параметризации Л. г. с помощью углов поворотов отвечает матричное представление ее генераторов $M_{i j}=i R_{i j}^{\prime}(0)$, $M_{0 k}=i B_{0 k}^{\prime}(0)$ (штрих означает здесь производную по углу). Их алгебра Ли характеризуется перестановочными соотношениями: \[ \left[M_{\mu v}, M_{\rho \sigma}\right]=i\left(g_{\mu \rho} M_{v \sigma}+g_{v \sigma} M_{\mu \rho}-g_{\mu \sigma} M_{v \rho}-g_{v \rho} M_{\mu \sigma}\right) . \] В трехмерных обозначениях удобно перейти к комбинациям \[ \begin{gathered} N_{i}=\left(I_{i}+i K_{i}\right) / 2, N_{i}^{+}=\left(I_{i}-i K_{i}\right) / 2, \\ I_{i}=\varepsilon_{i j k} M^{j k} / 2, K_{i}=M_{0 i}, \end{gathered} \] где $\varepsilon_{i j k}$ - символ Леви-Чивиты. Тогда алгебра (1) расщепляется в прямую сумму двух алгебр Ли группы вращений $O(3)$ : \[ \begin{gathered} {\left[N_{i}, N_{j}\right]=i \varepsilon_{i j k} N_{k},} \\ {\left[N_{i}^{+}, N_{j}^{+}\right]=i \varepsilon_{i j k} N_{k}^{+}, \quad\left[N_{i}, N_{j}^{+}\right]=0 .} \end{gathered} \] Операторы Казимира, коммутирующие со всеми генераторами, имеют вид $C_{1}=N_{i} N_{i}, C_{2}=N_{i}^{+} N_{i}^{+}$. Неприводимые представления Л. г. (точнее, ее подгруппы $L_{+}^{\uparrow}$ ) полностью характеризуются собственными значениями $j_{1}, j_{2}$ операторов $C_{1}, C_{2}$. Для конечномерных представлений удобнее трехмерная реализация (2) алгебры Ли. Вследствие ее расщепления представление $D^{\left(j_{1}, j_{2}\right)}$ Л. г. строится как прямое произведение представлений $D^{(j)}$ группы вращений и имеет размерность $\left(2 j_{1}+1\right)\left(2 j_{2}+1\right)$. Величины, преобразующиеся по представлениям $D^{(1 / 2,0)}$ и $D^{(0,1 / 2)}$, являются спинором и сопряженным спинором, по $D^{(1 / 2,1 / 2)}-4$-вектором и т. д. Полная классификация неприводимых представлений Л. г. описывается в терминах параметров $j_{0}, v$, связанных с собственными значениями операторов Казимира формулами $j_{1}=2\left(j_{0}^{2}+v^{2}-1\right), j_{2}=4 i j_{0} v$; параметр $j_{0}-$ положительное целое или полуцелое число, $v$ - любое комплексное число. Представление конечномерно, когда $j_{0}$ целое или полуцелое и $v^{2}=\left(j_{0}+n\right)^{2}$, где $n$ целое. Представление унитарно, когда: 1) $v$ мнимое; 2) $j_{0}=0$, $v$ вещественно и $|v| \leqslant 1$. Представление Л. г. однозначно при целом и двузначно при полуцелом $j_{0}$. Лит.: [1] Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро З. Я., Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения, М., 1958; [2] Наймарк М. А., Линейные представления группы Лоренца, М., 1958; [3] Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т., Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля, М., 1969; [4] Румер Ю. Б., Фет А. И., Теория групп и квантованные поля, М., 1977; [5] Эллиот Дж., Добер П., Симметрия в физике, пер. с англ., т. 1-2, М., 1983; [6] Рамон П., Теория поля. Современный вводный курс, пер. с англ., М., 1984. С. И. Азаков, В. П. Павлов.