ЛЯПУНОВА ФУНКЦИЯ

функция, определяемая следующим образом. Пусть $x_{0}-$ неподвижная точка системы дифференциальных уравнений \[ \dot{x}=f(x, t) \] - (то есть $f\left(x_{0}, t\right) \equiv 0$ ), где отображение $f(x, t): U \times \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ непрерывно и непрерывно дифференцируемо по $x$ (здесь $U$ - нек-рая окрестность точки $x_{0}$ в $\mathbb{R}^{n}$ ); в координатах эта система записывается в виде \[ \dot{x}^{i}=f^{i}\left(x^{1}, \ldots, x^{n}, t\right), i=1, \ldots, n . \] Функцией Ляпунова называется дифференцируемая функция $V(x): U \rightarrow \mathbb{R}$, обладающая свойствами: 1) $V(x)>0$ при $x \neq x_{0}$; 2) $V\left(x_{0}\right)=0$ 3) $0 \geqslant \frac{d V(x)}{d x} f(x, t)=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right)}{\partial x^{i}} f^{i}\left(x^{1}, \ldots, x^{n}, t\right)$. Функция $V(x)$ введена А. М. Ляпуновым (см. [1]). Имеет место лемма Ляпунова: если Л. ф. существует, то неподвижная точка устойчива по Ляпунову. На этой лемме основан один из методов исследования устойчивости. Лит.: [1] Ляпунов А. М., Собр. соч., т. 2, М.-Л., 1956, с. 7-263; [2] Барбашин Е. А., Функции Ляпунова, М., 1970. В. М. Миллионщиков.

функция, определяемая следующим образом. Пусть $x_{0}-$ неподвижная точка системы дифференциальных уравнений \[ \dot{x}=f(x, t) \] - (то есть $f\left(x_{0}, t\right) \equiv 0$ ), где отображение $f(x, t): U \times \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ непрерывно и непрерывно дифференцируемо по $x$ (здесь $U$ - нек-рая окрестность точки $x_{0}$ в $\mathbb{R}^{n}$ ); в координатах эта система записывается в виде \[ \dot{x}^{i}=f^{i}\left(x^{1}, \ldots, x^{n}, t\right), i=1, \ldots, n . \] Функцией Ляпунова называется дифференцируемая функция $V(x): U \rightarrow \mathbb{R}$, обладающая свойствами: 1) $V(x)>0$ при $x \neq x_{0}$; 2) $V\left(x_{0}\right)=0$ 3) $0 \geqslant \frac{d V(x)}{d x} f(x, t)=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right)}{\partial x^{i}} f^{i}\left(x^{1}, \ldots, x^{n}, t\right)$. Функция $V(x)$ введена А. М. Ляпуновым (см. [1]). Имеет место лемма Ляпунова: если Л. ф. существует, то неподвижная точка устойчива по Ляпунову. На этой лемме основан один из методов исследования устойчивости. Лит.: [1] Ляпунов А. М., Собр. соч., т. 2, М.-Л., 1956, с. 7-263; [2] Барбашин Е. А., Функции Ляпунова, М., 1970. В. М. Миллионщиков.