МАКСВЕЛЛА УРАВНЕНИЯ; АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

решения Максвелла уравнений, имеющие форму асимптотических разложений по последовательности функций $f_{n}(\theta)$, обладающих свойствами $f_{n}^{\prime}(\theta)=f_{n-1}(\theta)$ и $f_{n}(\theta) \ll f_{n-1}(\theta)$. В случае высокочастотных гармонич. полей \[ f_{n}(\theta)=\exp (-i \omega \theta)(-i \omega)^{-n} \] где $\omega \gg 1-$ безразмерная частота, $\theta=t-\tau(M), M=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$; $t, x_{1}, x_{2}, x_{3}-$ безразмерное время и пространственные переменные. Для описания поведения нестационарной электромагнитной волны в окрестности ее фронта $\theta=t-\tau(M)=0$ применяются разложения по функциям $f_{n}(\theta)$ со сглаживающимися сингулярностями при $\theta=0$. Напр., $f_{0}(\theta)=\chi(\theta)-$ функция Хевисайда, $f_{1}(\theta)=\int \chi(\theta) d \theta=$ $=\theta \chi(\theta)$ и т.д. Высокочастотное асимптотич. решение М.у. \[ \operatorname{rot} \boldsymbol{H}=\boldsymbol{\varepsilon} \partial \boldsymbol{E} / \partial t, \operatorname{rot} \boldsymbol{H}=-\mu \partial \boldsymbol{H} / \partial t, \] где $\varepsilon=\varepsilon(M)-$ диэлектрическая, а $\mu=\mu(M)-$ магнитная проницаемости, ищется в виде рядов \[ \left.\begin{array}{c} \boldsymbol{H}=\sum_{s=0}^{\infty} \boldsymbol{H}_{s}(M)(-i \omega)^{-s} \exp [-i \omega(t-\tau(M))], \\ \boldsymbol{E}=\sum_{s=0}^{\infty} \boldsymbol{E}_{s}(M)(-i \omega)^{-s} \exp [-i \omega(t-\tau(M))] . \end{array}\right\} . \] Коэффициенты $\boldsymbol{E}_{s}, \boldsymbol{H}_{s}$ определяются из рекуррентной системы линейных уравнений \[ \left.\begin{array}{l} \varepsilon \boldsymbol{E}_{s}+\left[\operatorname{grad} \tau, \boldsymbol{H}_{s}\right]=\operatorname{rot} \boldsymbol{H}_{s-1}, \\ -\mu \boldsymbol{H}_{s}+\left[\operatorname{grad} \tau, \boldsymbol{E}_{s}\right]=\operatorname{rot} \boldsymbol{E}_{s-1}, s \geqslant 0, \quad \boldsymbol{E}_{-1}=\boldsymbol{H}_{-1} \equiv 0, \end{array}\right\} \] к-рая получается при подстановке (1) в М.у. и приравнивания нулю коэффициентов при $1 /(-i \omega)$. Однородная система (2) при $s=0$ имеет отличное от нуля решение $\boldsymbol{E}_{0} \perp \boldsymbol{H}_{0}$, $E_{0} \perp \operatorname{grad} \tau, H_{0} \perp \operatorname{grad} \tau$, только если функция $\tau(M)$ удовлетворяет уравнению эйконала $(\operatorname{grad} \tau)^{2}=h^{2}(M)$, где $h=\sqrt{\varepsilon \mu}-$ показатель преломления среды. Благодаря отсутствию дисперсии фазовая и групповая скорости совпадают и равны $v(M)=c / h(M)$, где $c$ - скорость света. Решение уравнения эйконала может быть записано в виде интеграла \[ \tau(M)=\int_{M_{0}}^{M} h(M) d s, \] вычисляемого вдоль экстремали. Так как экстремали (лучи) ортогональны фазовым фронтам $\tau(M)-t=$ const, электромагнитная волна в нулевом приближении имеет поперечный характер и, следовательно, векторы $\boldsymbol{E}_{0}$ и $\boldsymbol{H}_{0}$ могут быть разложены по главной нормали $\boldsymbol{n}$ и бинормали $\boldsymbol{b}$ к лучу: \[ \begin{gathered} E_{0}=\sqrt{\mu} \Psi_{0}(\cos v n+\sin v b), \\ H_{0}=\sqrt{\varepsilon} \Psi_{0}(-\sin v \boldsymbol{n}+\cos v b) . \end{gathered} \] Условия разрешимости неоднородной системы (2) для $E_{1}$ и $H_{1}$ порождают систему уравнений, из к-рой находятся $\Psi_{0}$ и угол $v$. В лучевых координатах $\tau, \alpha, \beta$ ( $\alpha$ и $\beta$ задают луч, проходящий через точку $M, \tau$ определяет ее положение на луче) \[ \Psi_{0}=\Psi_{0}(\alpha, \beta) / \sqrt{h(M) J(M)}, \quad d v / d s=T, \] где \[ J(M)=h(M)\left|\frac{D\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)}{D(\tau, \alpha, \beta)}\right| \] - геометрич. расходимость поля лучей, $\psi_{0}(\alpha, \beta)$ - произвольная функция, постоянная на луче, $T-$ кручение луча, $d s=d \tau / h(M)$ - элемент дуги луча. Формула для $\Psi_{0}$ допускает простую энергетич. интерпретацию: энергия электромагнитной волны в нулевом (геометро-оптическом) приближении остается постоянной в бесконечно малом отрезке лучевой трубки при его перемещении со скоростью $v(M)$ вдоль трубки. Соотношение $d v / d s=T$, называемое законом Рытова, дает скорость вращения плоскости поляризации электромагнитной волны относительно главной нормали при распространении волны вдоль луча. Если пространство $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ рассматривать как риманово многообразие с метрич. тензором $g_{i k}=h^{2}(M) \delta_{i k}$, то лучи - геодезич. линии на этом многообразии, а соотношение $d v / d s=T$ означает параллельный перенос $\boldsymbol{E}_{0}$ и $\boldsymbol{H}_{0}$ вдоль геодезической. Последующие коэффициенты $\boldsymbol{E}_{s}, \boldsymbol{H}_{s}, s \geqslant 1$, находятся как решения системы (2), удовлетворяющие условиям разрешимости неоднородной системы (2) для векторов $\boldsymbol{E}_{s+1}$ и $\boldsymbol{H}_{s+1}$. Векторы $\boldsymbol{E}_{s}, \boldsymbol{H}_{s}, s \geqslant 1$, и grad $\tau$ уже не являются взаимно ортогональными, так что высокочастотная электромагнитная волна в неоднородной среде имеет поперечный характер только в геометро-оптич. приближении.

решения Максвелла уравнений, имеющие форму асимптотических разложений по последовательности функций $f_{n}(\theta)$, обладающих свойствами $f_{n}^{\prime}(\theta)=f_{n-1}(\theta)$ и $f_{n}(\theta) \ll f_{n-1}(\theta)$. В случае высокочастотных гармонич. полей \[ f_{n}(\theta)=\exp (-i \omega \theta)(-i \omega)^{-n} \] где $\omega \gg 1-$ безразмерная частота, $\theta=t-\tau(M), M=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$; $t, x_{1}, x_{2}, x_{3}-$ безразмерное время и пространственные переменные. Для описания поведения нестационарной электромагнитной волны в окрестности ее фронта $\theta=t-\tau(M)=0$ применяются разложения по функциям $f_{n}(\theta)$ со сглаживающимися сингулярностями при $\theta=0$. Напр., $f_{0}(\theta)=\chi(\theta)-$ функция Хевисайда, $f_{1}(\theta)=\int \chi(\theta) d \theta=$ $=\theta \chi(\theta)$ и т.д. Высокочастотное асимптотич. решение М.у. \[ \operatorname{rot} \boldsymbol{H}=\boldsymbol{\varepsilon} \partial \boldsymbol{E} / \partial t, \operatorname{rot} \boldsymbol{H}=-\mu \partial \boldsymbol{H} / \partial t, \] где $\varepsilon=\varepsilon(M)-$ диэлектрическая, а $\mu=\mu(M)-$ магнитная проницаемости, ищется в виде рядов \[ \left.\begin{array}{c} \boldsymbol{H}=\sum_{s=0}^{\infty} \boldsymbol{H}_{s}(M)(-i \omega)^{-s} \exp [-i \omega(t-\tau(M))], \\ \boldsymbol{E}=\sum_{s=0}^{\infty} \boldsymbol{E}_{s}(M)(-i \omega)^{-s} \exp [-i \omega(t-\tau(M))] . \end{array}\right\} . \] Коэффициенты $\boldsymbol{E}_{s}, \boldsymbol{H}_{s}$ определяются из рекуррентной системы линейных уравнений \[ \left.\begin{array}{l} \varepsilon \boldsymbol{E}_{s}+\left[\operatorname{grad} \tau, \boldsymbol{H}_{s}\right]=\operatorname{rot} \boldsymbol{H}_{s-1}, \\ -\mu \boldsymbol{H}_{s}+\left[\operatorname{grad} \tau, \boldsymbol{E}_{s}\right]=\operatorname{rot} \boldsymbol{E}_{s-1}, s \geqslant 0, \quad \boldsymbol{E}_{-1}=\boldsymbol{H}_{-1} \equiv 0, \end{array}\right\} \] к-рая получается при подстановке (1) в М.у. и приравнивания нулю коэффициентов при $1 /(-i \omega)$. Однородная система (2) при $s=0$ имеет отличное от нуля решение $\boldsymbol{E}_{0} \perp \boldsymbol{H}_{0}$, $E_{0} \perp \operatorname{grad} \tau, H_{0} \perp \operatorname{grad} \tau$, только если функция $\tau(M)$ удовлетворяет уравнению эйконала $(\operatorname{grad} \tau)^{2}=h^{2}(M)$, где $h=\sqrt{\varepsilon \mu}-$ показатель преломления среды. Благодаря отсутствию дисперсии фазовая и групповая скорости совпадают и равны $v(M)=c / h(M)$, где $c$ - скорость света. Решение уравнения эйконала может быть записано в виде интеграла \[ \tau(M)=\int_{M_{0}}^{M} h(M) d s, \] вычисляемого вдоль экстремали. Так как экстремали (лучи) ортогональны фазовым фронтам $\tau(M)-t=$ const, электромагнитная волна в нулевом приближении имеет поперечный характер и, следовательно, векторы $\boldsymbol{E}_{0}$ и $\boldsymbol{H}_{0}$ могут быть разложены по главной нормали $\boldsymbol{n}$ и бинормали $\boldsymbol{b}$ к лучу: \[ \begin{gathered} E_{0}=\sqrt{\mu} \Psi_{0}(\cos v n+\sin v b), \\ H_{0}=\sqrt{\varepsilon} \Psi_{0}(-\sin v \boldsymbol{n}+\cos v b) . \end{gathered} \] Условия разрешимости неоднородной системы (2) для $E_{1}$ и $H_{1}$ порождают систему уравнений, из к-рой находятся $\Psi_{0}$ и угол $v$. В лучевых координатах $\tau, \alpha, \beta$ ( $\alpha$ и $\beta$ задают луч, проходящий через точку $M, \tau$ определяет ее положение на луче) \[ \Psi_{0}=\Psi_{0}(\alpha, \beta) / \sqrt{h(M) J(M)}, \quad d v / d s=T, \] где \[ J(M)=h(M)\left|\frac{D\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)}{D(\tau, \alpha, \beta)}\right| \] - геометрич. расходимость поля лучей, $\psi_{0}(\alpha, \beta)$ - произвольная функция, постоянная на луче, $T-$ кручение луча, $d s=d \tau / h(M)$ - элемент дуги луча. Формула для $\Psi_{0}$ допускает простую энергетич. интерпретацию: энергия электромагнитной волны в нулевом (геометро-оптическом) приближении остается постоянной в бесконечно малом отрезке лучевой трубки при его перемещении со скоростью $v(M)$ вдоль трубки. Соотношение $d v / d s=T$, называемое законом Рытова, дает скорость вращения плоскости поляризации электромагнитной волны относительно главной нормали при распространении волны вдоль луча. Если пространство $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ рассматривать как риманово многообразие с метрич. тензором $g_{i k}=h^{2}(M) \delta_{i k}$, то лучи - геодезич. линии на этом многообразии, а соотношение $d v / d s=T$ означает параллельный перенос $\boldsymbol{E}_{0}$ и $\boldsymbol{H}_{0}$ вдоль геодезической. Последующие коэффициенты $\boldsymbol{E}_{s}, \boldsymbol{H}_{s}, s \geqslant 1$, находятся как решения системы (2), удовлетворяющие условиям разрешимости неоднородной системы (2) для векторов $\boldsymbol{E}_{s+1}$ и $\boldsymbol{H}_{s+1}$. Векторы $\boldsymbol{E}_{s}, \boldsymbol{H}_{s}, s \geqslant 1$, и grad $\tau$ уже не являются взаимно ортогональными, так что высокочастотная электромагнитная волна в неоднородной среде имеет поперечный характер только в геометро-оптич. приближении.