АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ

особая симметрия физической системы, состоящая в том, что изменение масштабов независимых переменных может быть скомпенсировано преобразованием подобия других динамических переменных. А. приводит к эффективному сокращению числа независимых переменных. Напр., если состояние системы характеризуется функцией $u(x, t)$, где $x-$ координата, $t$ - время, то условие инвариантности относительно изменения масштабов $x^{\prime}=k x, t^{\prime}=l t$ и преобразования подобия таково: \[ u(x, t)=k^{1 / \alpha} l^{\beta} u(k x, l t), \] где $\alpha, \beta$ - числа. Выбор $k^{1 / \alpha}=l=m / t$, где $m-$ критерий (параметр) подобия, придает первоначальной функции автомодельный вид \[ u(x, t)=m^{(1+\beta)} t^{-(1+\beta)} u\left(m^{\alpha_{t}-\alpha_{x}}, m\right) . \] Таким образом, функция $u$ при постоянном $m$ зависит только от комбинации $x / t^{\alpha}$. А. возможна, если набор параметров, определяющих состояние системы, не содержит характерных масштабов независимых переменных. Поскольку в большинстве задач форма преобразования подобия заранее неизвестна, автомодельную подстановку надо в каждом случае находить отдельно. Для этого имеются три способа: 1. Анализ размерностей. Состояние системы характеризуется набором размерных параметров и функций, зависящих от координат $x, y, z$ и времени $t$. Если один из безразмерных критериев подобия имеет вид $m=X_{0} / b T_{0}^{\alpha}$, где $b-$ параметр, имеющий размерность $[b]=L T^{-\alpha}, X_{0}$, $T_{0}$ - характерные длина и промежуток времени, $L, T-$ единицы длины и времени соответственно, то в качестве автомодельных переменных можно выбрать безразмерные комбинации $x / b t^{\alpha}, y / b t^{\alpha}, z / b t^{\alpha}$. В том случае, когда имеется не более двух определяющих параметров с независимыми размерностями, отличными от длины и времени, переход к автомодельным переменным превращает уравнение с частными производными в обыкновенное дифференциальное уравнение. 2. Непосредственный подбор. Формально вводится автомодельная замена переменных $u=t^{\beta} f\left(x / t^{\alpha}\right)$ или, в более общем виде, $u=\varphi(t) \psi(\chi), \chi=x / \eta(t)$. Уравнения, начальные и граничные условия должны иметь структуру, допускающую такую замену. Решение существует не для любых значений $\alpha, \beta$ и не для любых функций $\varphi(t), \eta(t)$. Для получения подходящих значений необходимо решить нелинейную задачу на собственные значения. 3. Исследование групповых свойств уравнений. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка $f_{j}\left(x_{i}, u_{k}\right.$, $\left.p_{i k}\right)=0$, где $x_{i}-$ независимые переменные, $u_{k}$ - искомые функции, $p_{i k}=\partial u_{k} / \partial x_{i}$. Всевозможные замены переменных $x_{i}, u_{k}$, допускаемые системой, образуют группу Ли. Автомодельные замены являются ее однопараметрич. подгруппой растяжений. В нек-рых случаях найти такие замены позволяет следующая процедура. В пространстве переменных $x_{i}$, $u_{k}$ группа Ли задается своими генераторами, имеющими общий вид \[ X=\xi_{i} \partial / \partial x_{i}+\eta_{k} \partial / \partial u_{k}, \] где $\xi_{i}, \eta_{k}$ - нек-рые функции переменных $x, u$; по повторяющимся индексам производится суммирование. В пространстве переменных $x_{i}, u_{k}, p_{i k}$ группа Ли задается генераторами \[ \tilde{X}=X+\xi_{i k} \partial / \partial p_{i k}, \] где \[ \xi_{i k}=D_{i} \eta_{k}-p_{l k} D_{i} \xi_{l}, \quad D_{i}=\partial / \partial x_{i}+p_{i k} \partial / \partial u_{k} . \] Система уравнений $f_{j}=0$ определяет гиперповерхность в пространстве переменных $x_{i}, u_{k}, p_{i k}$, к-рая является инвариантом группы при условии $X f_{j}=0$, когда $f_{j}=0$; эти условия служат для определения функций $\xi_{i}(x, u)$ и $\eta_{k}(x, u)$. Комбинации переменных, дающие искомую замену, являются первыми интегралами уравнения \[ X \varphi \equiv \xi_{i} \partial \varphi / \partial x_{i}+\eta_{k} \partial \varphi / \partial u_{k}=0 \] Напр., для двух независимых переменных $x, t$ и одной искомой функции $u$ оператор растяжений имеет вид \[ X=\alpha x \partial / \partial x+\beta t \partial / \partial t+\gamma u \partial / \partial u, \] $\alpha, \beta, \gamma$ - числа. Набор первых интегралов уравнения $X \varphi=0$ таков: \[ I_{1}=x / t^{\alpha / \beta}, I_{2}=u / t^{\gamma / \beta} \] поэтому автомодельное решение уравнений, допускающих группу растяжений, будет иметь вид \[ u=t^{\gamma / \beta} \psi\left(x / t^{\alpha / \beta}\right), \] $\psi$ - новая искомая функция. Рассмотрим, напр., Кортевега - де Фриса уравнение \[ \partial u / \partial t+u \partial u / \partial x+\mu \partial^{3} u / \partial x^{3}=0, \] где $\mu$ - постоянный параметр; оно инвариантно относительно преобразования \[ t \rightarrow k t, x \rightarrow k^{1 / 3} x, u \rightarrow k^{2 / 3} u . \] Генератор \[ X=x \partial / \partial x+3 t \partial / \partial t-2 u \partial / \partial u \] - оператор растяжений, и автомодельное решение имеет вид \[ u(x, t)=\mu(3 \mu t)^{-2 / 3} \psi(z), \quad z=(3 \mu t)^{-1 / 3} x . \] Подставляя это решение в исходное уравнение, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для функции $\psi(z):$ \[ \psi^{\prime \prime \prime}-z \psi^{\prime}+\psi \psi^{\prime}-2 \psi=0 \] Однопараметрич. группа растяжений абелева. Если система допускает решения, построенные на других однопараметрич. абелевых подгруппах, то подходящей заменой этим решениям можно придать автомодельный вид, что является следствием подобия этих групп. В частности, автомодельные движения тесно связаны с нелинейными бегущими волнами, то есть решениями вида $u=f(x-\lambda t+a)$, для к-рых место преобразования подобия занимает преобразование сдвига. Замена \[ x=\ln \xi, t=\ln \tau, a=\ln b \] переводит волновое решение $f$ в автомодельное: \[ f\left[\ln \left(\xi / b t^{\lambda}\right)\right]=F\left(\xi / b t^{\lambda}\right) . \] А., отражающая внутреннюю симметрию, присуща многим явлениям и используется при решении различных физич. задач, особенно в механике сплошных сред. Метод ренормализационной группы в квантовой теории поля, по существу, также основан на использовании автомодельного преобразования переменных. Интересно, что в автомодельных переменных уравнение ренормализационной группы оказывается тождественным одномерному уравнению переноса излучения. В физике элементарных частиц А. выражается в том, что сечения нек-рых процессов при высоких энергиях зависят лишь от безразмерных автомодельных комбинаций импульсов. Общие принципы квантовой теории поля допускают широкий класс таких автомодельных асимптотик. См. также Масштабная инвариантность. Лит.: [1] Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, 9 изд., М., 1981; [2] Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984; [3] Биркгоф Г., Гидродинамика, пер. с англ., М., 1963; [4] Овсянников Л. В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., 1978; [5] Арнольд В. И., Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1978, гл. 1; [6] Баренблатт Г. И., Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика, 2 изд., Л., $1982 . \quad$ В. Е. Рокотян.

особая симметрия физической системы, состоящая в том, что изменение масштабов независимых переменных может быть скомпенсировано преобразованием подобия других динамических переменных. А. приводит к эффективному сокращению числа независимых переменных. Напр., если состояние системы характеризуется функцией $u(x, t)$, где $x-$ координата, $t$ - время, то условие инвариантности относительно изменения масштабов $x^{\prime}=k x, t^{\prime}=l t$ и преобразования подобия таково: \[ u(x, t)=k^{1 / \alpha} l^{\beta} u(k x, l t), \] где $\alpha, \beta$ - числа. Выбор $k^{1 / \alpha}=l=m / t$, где $m-$ критерий (параметр) подобия, придает первоначальной функции автомодельный вид \[ u(x, t)=m^{(1+\beta)} t^{-(1+\beta)} u\left(m^{\alpha_{t}-\alpha_{x}}, m\right) . \] Таким образом, функция $u$ при постоянном $m$ зависит только от комбинации $x / t^{\alpha}$. А. возможна, если набор параметров, определяющих состояние системы, не содержит характерных масштабов независимых переменных. Поскольку в большинстве задач форма преобразования подобия заранее неизвестна, автомодельную подстановку надо в каждом случае находить отдельно. Для этого имеются три способа: 1. Анализ размерностей. Состояние системы характеризуется набором размерных параметров и функций, зависящих от координат $x, y, z$ и времени $t$. Если один из безразмерных критериев подобия имеет вид $m=X_{0} / b T_{0}^{\alpha}$, где $b-$ параметр, имеющий размерность $[b]=L T^{-\alpha}, X_{0}$, $T_{0}$ - характерные длина и промежуток времени, $L, T-$ единицы длины и времени соответственно, то в качестве автомодельных переменных можно выбрать безразмерные комбинации $x / b t^{\alpha}, y / b t^{\alpha}, z / b t^{\alpha}$. В том случае, когда имеется не более двух определяющих параметров с независимыми размерностями, отличными от длины и времени, переход к автомодельным переменным превращает уравнение с частными производными в обыкновенное дифференциальное уравнение. 2. Непосредственный подбор. Формально вводится автомодельная замена переменных $u=t^{\beta} f\left(x / t^{\alpha}\right)$ или, в более общем виде, $u=\varphi(t) \psi(\chi), \chi=x / \eta(t)$. Уравнения, начальные и граничные условия должны иметь структуру, допускающую такую замену. Решение существует не для любых значений $\alpha, \beta$ и не для любых функций $\varphi(t), \eta(t)$. Для получения подходящих значений необходимо решить нелинейную задачу на собственные значения. 3. Исследование групповых свойств уравнений. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка $f_{j}\left(x_{i}, u_{k}\right.$, $\left.p_{i k}\right)=0$, где $x_{i}-$ независимые переменные, $u_{k}$ - искомые функции, $p_{i k}=\partial u_{k} / \partial x_{i}$. Всевозможные замены переменных $x_{i}, u_{k}$, допускаемые системой, образуют группу Ли. Автомодельные замены являются ее однопараметрич. подгруппой растяжений. В нек-рых случаях найти такие замены позволяет следующая процедура. В пространстве переменных $x_{i}$, $u_{k}$ группа Ли задается своими генераторами, имеющими общий вид \[ X=\xi_{i} \partial / \partial x_{i}+\eta_{k} \partial / \partial u_{k}, \] где $\xi_{i}, \eta_{k}$ - нек-рые функции переменных $x, u$; по повторяющимся индексам производится суммирование. В пространстве переменных $x_{i}, u_{k}, p_{i k}$ группа Ли задается генераторами \[ \tilde{X}=X+\xi_{i k} \partial / \partial p_{i k}, \] где \[ \xi_{i k}=D_{i} \eta_{k}-p_{l k} D_{i} \xi_{l}, \quad D_{i}=\partial / \partial x_{i}+p_{i k} \partial / \partial u_{k} . \] Система уравнений $f_{j}=0$ определяет гиперповерхность в пространстве переменных $x_{i}, u_{k}, p_{i k}$, к-рая является инвариантом группы при условии $X f_{j}=0$, когда $f_{j}=0$; эти условия служат для определения функций $\xi_{i}(x, u)$ и $\eta_{k}(x, u)$. Комбинации переменных, дающие искомую замену, являются первыми интегралами уравнения \[ X \varphi \equiv \xi_{i} \partial \varphi / \partial x_{i}+\eta_{k} \partial \varphi / \partial u_{k}=0 \] Напр., для двух независимых переменных $x, t$ и одной искомой функции $u$ оператор растяжений имеет вид \[ X=\alpha x \partial / \partial x+\beta t \partial / \partial t+\gamma u \partial / \partial u, \] $\alpha, \beta, \gamma$ - числа. Набор первых интегралов уравнения $X \varphi=0$ таков: \[ I_{1}=x / t^{\alpha / \beta}, I_{2}=u / t^{\gamma / \beta} \] поэтому автомодельное решение уравнений, допускающих группу растяжений, будет иметь вид \[ u=t^{\gamma / \beta} \psi\left(x / t^{\alpha / \beta}\right), \] $\psi$ - новая искомая функция. Рассмотрим, напр., Кортевега - де Фриса уравнение \[ \partial u / \partial t+u \partial u / \partial x+\mu \partial^{3} u / \partial x^{3}=0, \] где $\mu$ - постоянный параметр; оно инвариантно относительно преобразования \[ t \rightarrow k t, x \rightarrow k^{1 / 3} x, u \rightarrow k^{2 / 3} u . \] Генератор \[ X=x \partial / \partial x+3 t \partial / \partial t-2 u \partial / \partial u \] - оператор растяжений, и автомодельное решение имеет вид \[ u(x, t)=\mu(3 \mu t)^{-2 / 3} \psi(z), \quad z=(3 \mu t)^{-1 / 3} x . \] Подставляя это решение в исходное уравнение, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для функции $\psi(z):$ \[ \psi^{\prime \prime \prime}-z \psi^{\prime}+\psi \psi^{\prime}-2 \psi=0 \] Однопараметрич. группа растяжений абелева. Если система допускает решения, построенные на других однопараметрич. абелевых подгруппах, то подходящей заменой этим решениям можно придать автомодельный вид, что является следствием подобия этих групп. В частности, автомодельные движения тесно связаны с нелинейными бегущими волнами, то есть решениями вида $u=f(x-\lambda t+a)$, для к-рых место преобразования подобия занимает преобразование сдвига. Замена \[ x=\ln \xi, t=\ln \tau, a=\ln b \] переводит волновое решение $f$ в автомодельное: \[ f\left[\ln \left(\xi / b t^{\lambda}\right)\right]=F\left(\xi / b t^{\lambda}\right) . \] А., отражающая внутреннюю симметрию, присуща многим явлениям и используется при решении различных физич. задач, особенно в механике сплошных сред. Метод ренормализационной группы в квантовой теории поля, по существу, также основан на использовании автомодельного преобразования переменных. Интересно, что в автомодельных переменных уравнение ренормализационной группы оказывается тождественным одномерному уравнению переноса излучения. В физике элементарных частиц А. выражается в том, что сечения нек-рых процессов при высоких энергиях зависят лишь от безразмерных автомодельных комбинаций импульсов. Общие принципы квантовой теории поля допускают широкий класс таких автомодельных асимптотик. См. также Масштабная инвариантность. Лит.: [1] Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, 9 изд., М., 1981; [2] Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984; [3] Биркгоф Г., Гидродинамика, пер. с англ., М., 1963; [4] Овсянников Л. В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., 1978; [5] Арнольд В. И., Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1978, гл. 1; [6] Баренблатт Г. И., Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика, 2 изд., Л., $1982 . \quad$ В. Е. Рокотян.