МАЛЫЕ ЗНАМЕНАТЕЛИ

Выражения, стоящие в знаменателях дробей, в виде которых получаются коэффициенты рядов, используемых для отыскания решений разного рода уравнений. Чаще всего это либо дифференциальные уравнения, либо уравнения, к-рым удовлетворяют замены, нормализующие дифференциальные уравнения. М. з. образуют многоиндексную, вообще говоря, последовательность с теми же индексами, что и у членов соответствующих рядов. М. з. действительно часто малы, что приводит к расходимости получаемых рядов (проблема малых знаменателей), к-рые называются формальными решениями задачи. Несмотря на расходимость, и формальные решения позволяют получать определенную информацию о настоящих решениях. Равенство нулю М. 3. (указывающее на резонанс) является препятствием к построению даже формального решения в данном виде. В основном используются либо степенные ряды (ряды Тейлора), либо ряды Фурье, либо ряды Пуассона - «смеси» рядов Тейлора и Фурье. Одна из основных ситуаций отыскание замены, приводящей к нормальной форме систему дифференциальных уравнений в окрестности индивидуального «приведенного» инвариантного тора с условно периодич. движением, точнее, систему \[ \left.\begin{array}{l} \dot{x}=\Lambda x+R_{2}(x, \varphi), \\ \dot{\varphi}=\omega+S_{1}(x, \varphi), \end{array}\right\} \] где $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \varphi=\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{m}\right), \Lambda$ - постоянная диагональная матрица с набором собственных значений \[ \lambda=\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right) \neq 0, \omega=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{m}\right)=\text { const } \neq 0 . \] Возмущение $R_{2}$ имеет второй порядок малости по $x$, а $S_{1}$ первый: $\quad R_{2} \sim|x|^{2}, \quad S_{1} \sim|x|$. Разлагая $j$-ю компоненту $R_{2}=\left(R_{2}^{1}, \ldots, R_{2}^{n}\right)$ в ряд Пуассона, удобно записывать ее в виде произведения \[ R^{j}=x_{j} \sum r_{j k l} x^{k} \exp i(l, \varphi), \] а с $S_{1}$ этого делать не нужно. Частным случаем такой ситуации является окрестность особой точки $(m=0)$ и замкнутой траектории $(m=1)$. Нерезонансной нормальной формой называется система вида (1) с $R_{2} \equiv 0$ и $S_{1} \equiv \mathbf{0}$ М. з. для такой формы имеют вид: \[ d_{k l}=i(l, \omega)+(k, \lambda)=i l_{1} \omega_{1}+\ldots+i l_{m} \omega_{m}+k_{1} \lambda_{1}+\ldots+k_{n} \lambda_{n}, \] где $l \in \mathbb{Z}^{m}$, а $|k|=k_{1}+\ldots+k_{n} \geqslant 1$ и $k+e_{j} \in \mathbb{Z}_{+}^{n}, j=1, \ldots, n$, то есть компоненты векторов $k+e_{j}$ целые и неотрицательные $\left(e_{j}=(0, \ldots, 0,1,0, \ldots, 0)-\right.$ единичный вектор с 1 на $j$-м месте). Резонанс (то есть равенство нулю хотя бы одного $d_{k l}$ ) является препятствием к формальному приведению системы к такой нормальной форме. В резонансном случае эти препятствия снимаются рассмотрением более сложных резонансных нормальных форм. Эти формы имеют вид (1), в к-ром разложения $R_{2}$ и $S_{1}$ Пуассона содержат лишь резонансные мономы, то есть слагаемые рядов с индексами $k, l$, для к-рых $i(l, \omega)+(k, \lambda)=0$. В замене, приводящей к резонансной нормальной форме, слагаемые с такими индексами $k, l$ перестают быть нужными. Для сходимости опасным является случай, когда многоиндексная последовательность М. з. имеет нуль предельной точкой. Он называется случаем Зигеля, а противоположный - случаем Пуанкаре. В зигелевом случае для обеспечения сходимости нужно дополнительно накладывать условия сильной несоизмеримости Зигеля. Вопросы, связанные со сходимостью, подробно исследованы в [2], [1]. Проблема М. з. появилась в небесной механике при изучении гамильтоновых систем, близких к интегрируемым, то есть систем с функциями Гамильтона вида \[ H=H_{0}(I)+\varepsilon H_{1}(I, \varphi), \] где $\varepsilon \ll 1, I=\left(I_{1}, \ldots, I_{m}\right)$, а функция $H_{1}$ периодична по $\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{m}\right)=\varphi$ с периодом $2 \pi(I, \varphi-$ переменные действие - угол). Расслоенная на инвариантные торы $I=$ const невозмущенная система $(\varepsilon=0)$ служит нерезонансной нормальной формой. В этой ситуации М. з. имеют вид $(l, \omega(I))$, где $l \in \mathbb{Z}^{m} \backslash\{0\}, \omega(I)=\partial H_{0}(I) / \partial I$. Таким образом, в отличие от более простого случая систем (1), М. з. здесь не константы, а функции, зависящие от переменных $I$. В общем случае они обращаются в нуль на всюду плотном множестве. Выход, предложенный А. Н. Колмогоровым, В. И. Арнольдом и Ю. Мозером (см. КАМ-теория и [3]), грубо говоря, состоит в наложении условия Зигеля сильной несоизмеримости: $|(l, \omega(I))|>c|l|^{-v}$ для всех $l \in \mathbb{Z}^{m} \backslash\{0\}$, где $v \geqslant m+1$. Это условие выделяет в фазовом пространстве системы при малых $\varepsilon$ множество инвариантных торов с нерезонансными условно периодич. движениями (см. Обмотка тора), называемое колмогоровским, мера дополнения к к-рому мала вместе с $\varepsilon$. Другой подход к исследованию таких систем предложен в [4]. Все фазовое пространство разбивается на зависящие от $\varepsilon$ блоки, в каждом из к-рых функция Гамильтона приводится к почти нормальной резонансной, вообще говоря, форме. В такой форме отсутствуют нерезонансные гармоники лишь не очень больших порядков \[ |l|=\left|l_{1}\right|+\ldots+\left|l_{m}\right| \leqslant N \] где $N(\varepsilon) \rightarrow \infty$ при $\varepsilon \rightarrow \infty$. Это снимает проблему М. з., так как обычная нормализующая замена как бы не доводится до конца. Такое разбиение позволяет проводить оценки устойчивости по переменным действиям $I$ в течение экспоненциально больших по сравнению с $1 / \varepsilon$ промежутков времени для всех начальных условий, и, в целом, получать информацию о поведении решений и их устойчивости. Существует много ситуаций, весьма похожих на приведенные выше, напр. исследование окрестности неподвижной точки отображения, окрестности индивидуального тора гамильтоновой либо общей системы, не зависящей либо зависящей от параметров, отыскание интегральных многообразий и т. д. Имеются и параллельные теории (см. [1] [4]). Эти уравнения и отображения можно охарактеризовать как близкие к интегрируемым.

Выражения, стоящие в знаменателях дробей, в виде которых получаются коэффициенты рядов, используемых для отыскания решений разного рода уравнений. Чаще всего это либо дифференциальные уравнения, либо уравнения, к-рым удовлетворяют замены, нормализующие дифференциальные уравнения. М. з. образуют многоиндексную, вообще говоря, последовательность с теми же индексами, что и у членов соответствующих рядов. М. з. действительно часто малы, что приводит к расходимости получаемых рядов (проблема малых знаменателей), к-рые называются формальными решениями задачи. Несмотря на расходимость, и формальные решения позволяют получать определенную информацию о настоящих решениях. Равенство нулю М. 3. (указывающее на резонанс) является препятствием к построению даже формального решения в данном виде. В основном используются либо степенные ряды (ряды Тейлора), либо ряды Фурье, либо ряды Пуассона - «смеси» рядов Тейлора и Фурье. Одна из основных ситуаций отыскание замены, приводящей к нормальной форме систему дифференциальных уравнений в окрестности индивидуального «приведенного» инвариантного тора с условно периодич. движением, точнее, систему \[ \left.\begin{array}{l} \dot{x}=\Lambda x+R_{2}(x, \varphi), \\ \dot{\varphi}=\omega+S_{1}(x, \varphi), \end{array}\right\} \] где $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \varphi=\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{m}\right), \Lambda$ - постоянная диагональная матрица с набором собственных значений \[ \lambda=\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right) \neq 0, \omega=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{m}\right)=\text { const } \neq 0 . \] Возмущение $R_{2}$ имеет второй порядок малости по $x$, а $S_{1}$ первый: $\quad R_{2} \sim|x|^{2}, \quad S_{1} \sim|x|$. Разлагая $j$-ю компоненту $R_{2}=\left(R_{2}^{1}, \ldots, R_{2}^{n}\right)$ в ряд Пуассона, удобно записывать ее в виде произведения \[ R^{j}=x_{j} \sum r_{j k l} x^{k} \exp i(l, \varphi), \] а с $S_{1}$ этого делать не нужно. Частным случаем такой ситуации является окрестность особой точки $(m=0)$ и замкнутой траектории $(m=1)$. Нерезонансной нормальной формой называется система вида (1) с $R_{2} \equiv 0$ и $S_{1} \equiv \mathbf{0}$ М. з. для такой формы имеют вид: \[ d_{k l}=i(l, \omega)+(k, \lambda)=i l_{1} \omega_{1}+\ldots+i l_{m} \omega_{m}+k_{1} \lambda_{1}+\ldots+k_{n} \lambda_{n}, \] где $l \in \mathbb{Z}^{m}$, а $|k|=k_{1}+\ldots+k_{n} \geqslant 1$ и $k+e_{j} \in \mathbb{Z}_{+}^{n}, j=1, \ldots, n$, то есть компоненты векторов $k+e_{j}$ целые и неотрицательные $\left(e_{j}=(0, \ldots, 0,1,0, \ldots, 0)-\right.$ единичный вектор с 1 на $j$-м месте). Резонанс (то есть равенство нулю хотя бы одного $d_{k l}$ ) является препятствием к формальному приведению системы к такой нормальной форме. В резонансном случае эти препятствия снимаются рассмотрением более сложных резонансных нормальных форм. Эти формы имеют вид (1), в к-ром разложения $R_{2}$ и $S_{1}$ Пуассона содержат лишь резонансные мономы, то есть слагаемые рядов с индексами $k, l$, для к-рых $i(l, \omega)+(k, \lambda)=0$. В замене, приводящей к резонансной нормальной форме, слагаемые с такими индексами $k, l$ перестают быть нужными. Для сходимости опасным является случай, когда многоиндексная последовательность М. з. имеет нуль предельной точкой. Он называется случаем Зигеля, а противоположный - случаем Пуанкаре. В зигелевом случае для обеспечения сходимости нужно дополнительно накладывать условия сильной несоизмеримости Зигеля. Вопросы, связанные со сходимостью, подробно исследованы в [2], [1]. Проблема М. з. появилась в небесной механике при изучении гамильтоновых систем, близких к интегрируемым, то есть систем с функциями Гамильтона вида \[ H=H_{0}(I)+\varepsilon H_{1}(I, \varphi), \] где $\varepsilon \ll 1, I=\left(I_{1}, \ldots, I_{m}\right)$, а функция $H_{1}$ периодична по $\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{m}\right)=\varphi$ с периодом $2 \pi(I, \varphi-$ переменные действие - угол). Расслоенная на инвариантные торы $I=$ const невозмущенная система $(\varepsilon=0)$ служит нерезонансной нормальной формой. В этой ситуации М. з. имеют вид $(l, \omega(I))$, где $l \in \mathbb{Z}^{m} \backslash\{0\}, \omega(I)=\partial H_{0}(I) / \partial I$. Таким образом, в отличие от более простого случая систем (1), М. з. здесь не константы, а функции, зависящие от переменных $I$. В общем случае они обращаются в нуль на всюду плотном множестве. Выход, предложенный А. Н. Колмогоровым, В. И. Арнольдом и Ю. Мозером (см. КАМ-теория и [3]), грубо говоря, состоит в наложении условия Зигеля сильной несоизмеримости: $|(l, \omega(I))|>c|l|^{-v}$ для всех $l \in \mathbb{Z}^{m} \backslash\{0\}$, где $v \geqslant m+1$. Это условие выделяет в фазовом пространстве системы при малых $\varepsilon$ множество инвариантных торов с нерезонансными условно периодич. движениями (см. Обмотка тора), называемое колмогоровским, мера дополнения к к-рому мала вместе с $\varepsilon$. Другой подход к исследованию таких систем предложен в [4]. Все фазовое пространство разбивается на зависящие от $\varepsilon$ блоки, в каждом из к-рых функция Гамильтона приводится к почти нормальной резонансной, вообще говоря, форме. В такой форме отсутствуют нерезонансные гармоники лишь не очень больших порядков \[ |l|=\left|l_{1}\right|+\ldots+\left|l_{m}\right| \leqslant N \] где $N(\varepsilon) \rightarrow \infty$ при $\varepsilon \rightarrow \infty$. Это снимает проблему М. з., так как обычная нормализующая замена как бы не доводится до конца. Такое разбиение позволяет проводить оценки устойчивости по переменным действиям $I$ в течение экспоненциально больших по сравнению с $1 / \varepsilon$ промежутков времени для всех начальных условий, и, в целом, получать информацию о поведении решений и их устойчивости. Существует много ситуаций, весьма похожих на приведенные выше, напр. исследование окрестности неподвижной точки отображения, окрестности индивидуального тора гамильтоновой либо общей системы, не зависящей либо зависящей от параметров, отыскание интегральных многообразий и т. д. Имеются и параллельные теории (см. [1] [4]). Эти уравнения и отображения можно охарактеризовать как близкие к интегрируемым.