МАНДЕЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

распределение вероятностей целочисленной случайной величины $N$: \[ P(n)=\mathrm{P}\{N=n\}=\int_{0}^{\infty} \frac{E^{n}}{n !} e^{-E} p(E) d E, \] где $p(E)$ - плотность распределения вероятностей для случайной величины \[ U=\int_{0}^{T}|\alpha(t)|^{2} d t \] $\{\alpha(t)\}$ - стационарный комплекснозначный случайный процесс, $T=$ const. М. р. используется в квантовой оптике при статистич. анализе отсчетов $N$ случайных полей излучения. Плотность $p(E)$ определяется по заданной мере, соответствующей процессу $\{\alpha(t)\}$. Если $p(E)=\delta(E-\varepsilon)$, где $\varepsilon=$ const, то М. р. сводится к Пуассона распределению \[ P(n)=\frac{\varepsilon^{n}}{n !} e^{-\varepsilon} . \] В общем случае для произвольной плотности $p(E)$ распределение вероятностей $P(n)$ является составным распределением Пуассона с дисперсией $\mathrm{D}=\left\langle n^{2}\right\rangle-\langle n\rangle^{2}=\langle E\rangle+\left\langle E^{2}\right\rangle-$ $-\langle E\rangle^{2}$, содержащей добавочное слагаемое по сравнению с распределением (2). По известному набору вероятностей $P(n), n=0,1,2, \ldots$, обращение (1) позволяет решить задачу восстановления распределения $p(E)$: \[ p(E)=2 e^{-E} \sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{m} C_{m}^{n} P(n)(-2)^{n} L_{m}(E), \] где $L_{m}(E)$ - многочлены Лагерра. Лит.: [1] Клаудер Дж., Сударшан Э., Основы квантовой оптики, пер. с англ., М., 1970.

распределение вероятностей целочисленной случайной величины $N$: \[ P(n)=\mathrm{P}\{N=n\}=\int_{0}^{\infty} \frac{E^{n}}{n !} e^{-E} p(E) d E, \] где $p(E)$ - плотность распределения вероятностей для случайной величины \[ U=\int_{0}^{T}|\alpha(t)|^{2} d t \] $\{\alpha(t)\}$ - стационарный комплекснозначный случайный процесс, $T=$ const. М. р. используется в квантовой оптике при статистич. анализе отсчетов $N$ случайных полей излучения. Плотность $p(E)$ определяется по заданной мере, соответствующей процессу $\{\alpha(t)\}$. Если $p(E)=\delta(E-\varepsilon)$, где $\varepsilon=$ const, то М. р. сводится к Пуассона распределению \[ P(n)=\frac{\varepsilon^{n}}{n !} e^{-\varepsilon} . \] В общем случае для произвольной плотности $p(E)$ распределение вероятностей $P(n)$ является составным распределением Пуассона с дисперсией $\mathrm{D}=\left\langle n^{2}\right\rangle-\langle n\rangle^{2}=\langle E\rangle+\left\langle E^{2}\right\rangle-$ $-\langle E\rangle^{2}$, содержащей добавочное слагаемое по сравнению с распределением (2). По известному набору вероятностей $P(n), n=0,1,2, \ldots$, обращение (1) позволяет решить задачу восстановления распределения $p(E)$: \[ p(E)=2 e^{-E} \sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{m} C_{m}^{n} P(n)(-2)^{n} L_{m}(E), \] где $L_{m}(E)$ - многочлены Лагерра. Лит.: [1] Клаудер Дж., Сударшан Э., Основы квантовой оптики, пер. с англ., М., 1970.