БЕССЕЛЯ УРАВНЕНИЕ

линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка: \[ x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-v^{2}\right) y=0, \quad v=\text { const, } \] или в самосопряженной форме: \[ \left(x y^{\prime}\right)^{\prime}+\left(x-\frac{v^{2}}{x}\right) y=0 . \] Число $v$ называется индексом Б. у.; величины $x, y, v$ в общем случае могут принимать комплексные значения. После подстановки $y=u x^{-1 / 2}$ получается приведенная форма уравнения (1): \[ u^{\prime \prime}+\left[1+\frac{1-4 v^{2}}{4 x^{2}}\right] u=0 \] Первым систематическое изучение решений уравнения (1) предпринял Ф. Бессель [2], но еще раньше они встречались в работах Д. Бернулли (D. Bernoulli), Л. Эйлера (L. Euler), Ж. Лагранжа (J. Lagrange). Б. у. возникает при разделении переменных во многих задачах математич. физики (см. [3]), в частности в краевых задачах теории потенциала для цилиндрич. области. Решения Б.у. называются цилиндрическими функциями (или бесселевыми функциями). Среди них выделяют цилиндрич. функции 1-го рода (Бесселя функции) $J_{\mathrm{v}}(x)$, цилиндрич. функции 2-го рода (Неймана функции) $Y_{\mathrm{v}}(x)$, цилиндрич. функции 3-го рода (Ганкеля функции) $H_{\mathrm{v}}^{(1)}(x)$, $H_{\mathrm{v}}^{(2)}(x)$. См. также Дифференциальное уравнение; аналитическая теория, Специальные функции.

линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка: \[ x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-v^{2}\right) y=0, \quad v=\text { const, } \] или в самосопряженной форме: \[ \left(x y^{\prime}\right)^{\prime}+\left(x-\frac{v^{2}}{x}\right) y=0 . \] Число $v$ называется индексом Б. у.; величины $x, y, v$ в общем случае могут принимать комплексные значения. После подстановки $y=u x^{-1 / 2}$ получается приведенная форма уравнения (1): \[ u^{\prime \prime}+\left[1+\frac{1-4 v^{2}}{4 x^{2}}\right] u=0 \] Первым систематическое изучение решений уравнения (1) предпринял Ф. Бессель [2], но еще раньше они встречались в работах Д. Бернулли (D. Bernoulli), Л. Эйлера (L. Euler), Ж. Лагранжа (J. Lagrange). Б. у. возникает при разделении переменных во многих задачах математич. физики (см. [3]), в частности в краевых задачах теории потенциала для цилиндрич. области. Решения Б.у. называются цилиндрическими функциями (или бесселевыми функциями). Среди них выделяют цилиндрич. функции 1-го рода (Бесселя функции) $J_{\mathrm{v}}(x)$, цилиндрич. функции 2-го рода (Неймана функции) $Y_{\mathrm{v}}(x)$, цилиндрич. функции 3-го рода (Ганкеля функции) $H_{\mathrm{v}}^{(1)}(x)$, $H_{\mathrm{v}}^{(2)}(x)$. См. также Дифференциальное уравнение; аналитическая теория, Специальные функции.