МАРКОВСКОЕ СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ

случайная функция $\xi=\left\{\xi_{t}, t \in T\right\}$, определенная на некотором множестве $T$ такая, что для всякой «области» $V \subset T$ значения поля внутри $V$ и вне $V$ при условии, что фиксированы его значения на «границе» $\partial V$, условно независимы. При более подробном описании этого понятия следует различать два случая: случай дискретного множества $T$ (графа) и случай непрерывного множества $T$ (напр., $T=\mathbb{R}^{n}$ ). 1) М. с. п. на графе $T$ со значениями в измеримом пространстве $S-$ это набор $\xi=\left\{\xi_{t}, t \in T\right\}$ случайных величин $\xi_{t}$ со значениями в $S$, определенных на нек-ром вероятностном пространстве $(\Omega, \Sigma, \mu)$ и помеченных точками из $T$; здесь $\Sigma-$ нек-рая выделенная $\sigma$-алгебра подмножеств $\Omega$, а $\mu-$ вероятностная мера, заданная на множествах из $\Sigma$. Пусть $\Sigma_{A}$ для любого $A \subset T-\sigma$-подалгебра $\Sigma$, порожденная величинами $\left\{\xi_{t}, t \in A\right\}$, то есть минимальная $\sigma$-подалгебра $\Sigma$, относительно к-рой все эти величины измеримы. Для каждого множества $V \subset T$ его границей $\partial V$ называется совокупность точек $t \in T$, не принадлежащих $V$, но соединенных хотя бы одним ребром графа $T$ с точками из $V$. Случайная функция $\xi=\left\{\xi_{t}, t \in T\right\}$ называется марковским полем на $T$, если для любого $V \subset T$ значения поля внутри $V-\xi_{V}=\left\{\xi_{t}, t \in V\right\}$ и вне $V-\xi_{V^{\prime}}=\left\{\xi_{t}, t \in V^{\prime} \equiv T \backslash V\right\}$ статистически независимы относительно условного распределения $\mu\left(\cdot \mid \Sigma_{\partial V}\right)$, порожденного $\sigma$-алгеброй $\Sigma_{\partial V}$. Это означает, что для любых двух ограниченных функций $f_{V}$ и $g_{V^{\prime}}$, определенных на пространстве $\Omega$ и измеримых относительно $\sigma$-алгебр $\Sigma_{V}$ и $\Sigma_{V^{\prime}}$, соответственно, выполнено равенство \[ \left\langle f_{V^{\prime}} \cdot g_{V^{\prime}}\right\rangle_{\partial V}=\left\langle f_{V}\right\rangle_{\partial V} \cdot\left\langle g_{V^{\prime}}\right\rangle_{\partial V} \] (марковское свойство), где \[ \langle\cdot\rangle_{\partial V} \equiv \int_{\Omega} \cdot d \mu\left(\omega \mid \Sigma_{\partial V}\right) \] - условное среднее. Условное распределение $\mu\left(\cdot \mid \Sigma_{\partial V}\right)$, то есть отображение $\omega \rightarrow \mu(\cdot \mid \omega)$ пространства $\Omega$ в совокупность вероятностных мер на $\Omega$, измеримое относительно $\sigma$-алгебры $\Sigma_{\partial V}$ и однозначно определяемое условием \[ \int_{\Omega} f h d \mu=\int_{\Omega} h(\omega)\left[\int_{\Omega} f\left(\omega^{\prime}\right) d \mu\left(\omega^{\prime} \mid \omega\right)\right] d \mu(\omega) \] (где $f$ - произвольная измеримая ограниченная функция на $\Omega$, а $h$ - ограниченная функция, измеримая (см. [1]) относительно $\sigma$-алгебры $\Sigma_{\partial V}$ ), может быть представлена как набор условных распределений вероятностей \[ \mu\left(\cdot \mid \xi_{\partial V}=\bar{\xi}_{\partial V}\right) \] для значения поля $\xi_{V}$ при условии, что фиксированы его значения $\left.\xi\right|_{\partial V}=\xi_{\partial V}$ на границе $\partial V$. В случае, когда марковское свойство (1) имеет место лишь для конечных множеств $V \subset T$, случайное поле $\left\{\xi_{t}, t \in T\right\}$ называется локально марковским. Наконец, если $T=\mathbb{Z}$ и марковское свойство выполняется для любой полурешетки $V_{k}=\{t \in \mathbb{Z}, t \geqslant k\}$, случайное поле называется цепью Маркова. 2) М. с. п. классическое $\left\{\xi_{t}, t \in \mathbb{R}^{n}\right\}$ в пространстве $\mathbb{R}^{n}$ определяется аналогично, если в качестве $V$ рассматриваются произвольные области $V \subset \mathbb{R}^{n}$ (или только ограниченные области в случае локального поля), а под $\partial V$ понимается обычная граница области $V$. В этом случае условное распределение $\mu\left(\cdot \mid \Sigma_{\partial V}\right)$ относительно $\sigma$-алгебры $\Sigma_{\partial V}$ по-прежнему имеет наглядное представление, аналогичное (3). Если $n=1$, а марковское свойство (1) выполняется для любой полупрямой $V_{s}=\{t \in \mathbb{R}, t>s\}$, то соответствующее случайное поле в $\mathbb{R}$ называется марковским случайным процессом. 3) М. с. п. в $\mathbb{R}^{n}$ обобщенное - линейная случайная функция $\xi=\left\{\xi_{\varphi}, \varphi \in K\right\}$, определенная в нек-ром пространстве $K$ основных функций (чаще всего это пространство $S\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ бесконечно гладких быстро убывающих функций $\varphi(t), t \in \mathbb{R}^{n}$ ). Если для любого открытого множества $V \subset \mathbb{R}^{n}$ через $\Sigma_{V}$ обозначить $\sigma$-подалгебру $\sigma$-алгебры $\Sigma$, порожденную случайными величинами $\left\{\xi_{\varphi}\right.$, supp $\left.\varphi \subset V\right\}$, а для любого замкнутого множества $F$ определить $\Sigma_{F}$ как $\cap \Sigma_{V}$, где пересечение берется по всем открытым множествам $V$, содержащим $F$, то определение марковского свойства обобщенного случайного поля относительно открытого множества $V$ вводится по-прежнему формулой (1). При этом, как и раньше, это поле называется марковским, если оно обладает марковским свойством относительно любой области $V$. Следует отметить, что в случае обобщенных полей условное распределение $\mu\left(\cdot \mid \Sigma_{\partial V}\right)$ не имеет наглядного истолкования, аналогичного предыдущим случаям, поскольку, вообще говоря, нельзя определить сужение обобщенной функции на границу $\partial V$. Изучение обобщенных М. с. п. в $\mathbb{R}^{n}$ стимулируется задачами квантовой теории поля, в к-рой существенную роль играют нек-рые специальные классы таких полей - так наз. $P[\varphi]-м$ оде л и.

случайная функция $\xi=\left\{\xi_{t}, t \in T\right\}$, определенная на некотором множестве $T$ такая, что для всякой «области» $V \subset T$ значения поля внутри $V$ и вне $V$ при условии, что фиксированы его значения на «границе» $\partial V$, условно независимы. При более подробном описании этого понятия следует различать два случая: случай дискретного множества $T$ (графа) и случай непрерывного множества $T$ (напр., $T=\mathbb{R}^{n}$ ). 1) М. с. п. на графе $T$ со значениями в измеримом пространстве $S-$ это набор $\xi=\left\{\xi_{t}, t \in T\right\}$ случайных величин $\xi_{t}$ со значениями в $S$, определенных на нек-ром вероятностном пространстве $(\Omega, \Sigma, \mu)$ и помеченных точками из $T$; здесь $\Sigma-$ нек-рая выделенная $\sigma$-алгебра подмножеств $\Omega$, а $\mu-$ вероятностная мера, заданная на множествах из $\Sigma$. Пусть $\Sigma_{A}$ для любого $A \subset T-\sigma$-подалгебра $\Sigma$, порожденная величинами $\left\{\xi_{t}, t \in A\right\}$, то есть минимальная $\sigma$-подалгебра $\Sigma$, относительно к-рой все эти величины измеримы. Для каждого множества $V \subset T$ его границей $\partial V$ называется совокупность точек $t \in T$, не принадлежащих $V$, но соединенных хотя бы одним ребром графа $T$ с точками из $V$. Случайная функция $\xi=\left\{\xi_{t}, t \in T\right\}$ называется марковским полем на $T$, если для любого $V \subset T$ значения поля внутри $V-\xi_{V}=\left\{\xi_{t}, t \in V\right\}$ и вне $V-\xi_{V^{\prime}}=\left\{\xi_{t}, t \in V^{\prime} \equiv T \backslash V\right\}$ статистически независимы относительно условного распределения $\mu\left(\cdot \mid \Sigma_{\partial V}\right)$, порожденного $\sigma$-алгеброй $\Sigma_{\partial V}$. Это означает, что для любых двух ограниченных функций $f_{V}$ и $g_{V^{\prime}}$, определенных на пространстве $\Omega$ и измеримых относительно $\sigma$-алгебр $\Sigma_{V}$ и $\Sigma_{V^{\prime}}$, соответственно, выполнено равенство \[ \left\langle f_{V^{\prime}} \cdot g_{V^{\prime}}\right\rangle_{\partial V}=\left\langle f_{V}\right\rangle_{\partial V} \cdot\left\langle g_{V^{\prime}}\right\rangle_{\partial V} \] (марковское свойство), где \[ \langle\cdot\rangle_{\partial V} \equiv \int_{\Omega} \cdot d \mu\left(\omega \mid \Sigma_{\partial V}\right) \] - условное среднее. Условное распределение $\mu\left(\cdot \mid \Sigma_{\partial V}\right)$, то есть отображение $\omega \rightarrow \mu(\cdot \mid \omega)$ пространства $\Omega$ в совокупность вероятностных мер на $\Omega$, измеримое относительно $\sigma$-алгебры $\Sigma_{\partial V}$ и однозначно определяемое условием \[ \int_{\Omega} f h d \mu=\int_{\Omega} h(\omega)\left[\int_{\Omega} f\left(\omega^{\prime}\right) d \mu\left(\omega^{\prime} \mid \omega\right)\right] d \mu(\omega) \] (где $f$ - произвольная измеримая ограниченная функция на $\Omega$, а $h$ - ограниченная функция, измеримая (см. [1]) относительно $\sigma$-алгебры $\Sigma_{\partial V}$ ), может быть представлена как набор условных распределений вероятностей \[ \mu\left(\cdot \mid \xi_{\partial V}=\bar{\xi}_{\partial V}\right) \] для значения поля $\xi_{V}$ при условии, что фиксированы его значения $\left.\xi\right|_{\partial V}=\xi_{\partial V}$ на границе $\partial V$. В случае, когда марковское свойство (1) имеет место лишь для конечных множеств $V \subset T$, случайное поле $\left\{\xi_{t}, t \in T\right\}$ называется локально марковским. Наконец, если $T=\mathbb{Z}$ и марковское свойство выполняется для любой полурешетки $V_{k}=\{t \in \mathbb{Z}, t \geqslant k\}$, случайное поле называется цепью Маркова. 2) М. с. п. классическое $\left\{\xi_{t}, t \in \mathbb{R}^{n}\right\}$ в пространстве $\mathbb{R}^{n}$ определяется аналогично, если в качестве $V$ рассматриваются произвольные области $V \subset \mathbb{R}^{n}$ (или только ограниченные области в случае локального поля), а под $\partial V$ понимается обычная граница области $V$. В этом случае условное распределение $\mu\left(\cdot \mid \Sigma_{\partial V}\right)$ относительно $\sigma$-алгебры $\Sigma_{\partial V}$ по-прежнему имеет наглядное представление, аналогичное (3). Если $n=1$, а марковское свойство (1) выполняется для любой полупрямой $V_{s}=\{t \in \mathbb{R}, t>s\}$, то соответствующее случайное поле в $\mathbb{R}$ называется марковским случайным процессом. 3) М. с. п. в $\mathbb{R}^{n}$ обобщенное - линейная случайная функция $\xi=\left\{\xi_{\varphi}, \varphi \in K\right\}$, определенная в нек-ром пространстве $K$ основных функций (чаще всего это пространство $S\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ бесконечно гладких быстро убывающих функций $\varphi(t), t \in \mathbb{R}^{n}$ ). Если для любого открытого множества $V \subset \mathbb{R}^{n}$ через $\Sigma_{V}$ обозначить $\sigma$-подалгебру $\sigma$-алгебры $\Sigma$, порожденную случайными величинами $\left\{\xi_{\varphi}\right.$, supp $\left.\varphi \subset V\right\}$, а для любого замкнутого множества $F$ определить $\Sigma_{F}$ как $\cap \Sigma_{V}$, где пересечение берется по всем открытым множествам $V$, содержащим $F$, то определение марковского свойства обобщенного случайного поля относительно открытого множества $V$ вводится по-прежнему формулой (1). При этом, как и раньше, это поле называется марковским, если оно обладает марковским свойством относительно любой области $V$. Следует отметить, что в случае обобщенных полей условное распределение $\mu\left(\cdot \mid \Sigma_{\partial V}\right)$ не имеет наглядного истолкования, аналогичного предыдущим случаям, поскольку, вообще говоря, нельзя определить сужение обобщенной функции на границу $\partial V$. Изучение обобщенных М. с. п. в $\mathbb{R}^{n}$ стимулируется задачами квантовой теории поля, в к-рой существенную роль играют нек-рые специальные классы таких полей - так наз. $P[\varphi]-м$ оде л и.