МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ КЛАССИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

уравнения, описывающие математические модели физических явлений. М. ф.к.у. - часть предмета математич. физики. Многие явления физики и механики (гидро- и газодинамики, упругости, электродинамики, оптики, теории переноса, физики плазмы, квантовой физики, теории гравитации и т. п.) описываются краевыми задачами для дифференциальных уравнений. Эти задачи составляют весьма широкий класс М. Ф. к. у. Для полного описания эволюции физич. процесса помимо уравнений, необходимо, во-первых, задать картину процесса в нек-рый фиксированный момент времени (начальные условия) и, во-вторых, задать режим на границе той среды, где протекает этот процесс (граничные условия). Начальные и граничные условия образуют краевые условия, а дифференциальные уравнения вместе с соответствующими краевыми условиями - краевые задачи математич. физики. Ниже приведены нек-рые примеры уравнений и соответствующих краевых задач. Уравнение колебаний (волновое уравнение) \[ \rho \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\operatorname{div}(p \operatorname{grad} u)-q u+f(x, t) \] описывает малые колебания струн, стержней, мембран, акустические и электромагнитные колебания. В уравнении (1) пространственные переменные $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ изменяются в области $G \subset \mathbb{R}^{n}, n=1,2,3$, где развивается рассматриваемый физич. процесс; при этом в соответствии с физич. смыслом входящих величин должно быть $\rho>0, p>0, q>0$. При $\rho=1, p=a^{2}=$ const и $q=0$ уравнение (1) превращается в волновое уравнение \[ \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \Delta u+f(x, t) \] где $\Delta$ - оператор Лапласа. Диффузии уравнение \[ \rho \frac{\partial u}{\partial t}=\operatorname{div}(p \operatorname{grad} u)-q u+f(x, t) \] описывает процессы диффузии частиц и распространения тепла в среде. При $\rho=1, p=a^{2}=$ const и $q=0$ уравнение (3) превращается в теплопроводности уравнение \[ \frac{\partial u}{\partial t}=a^{2} \Delta u+f(x, t) . \] Для стационарных процессов, когда отсутствует зависимость от времени $t$, уравнения колебаний (1) и диффузии (3) принимают вид: \[ -\operatorname{div}(p \operatorname{grad} u)+q u=f(x) . \] При $p=1$ и $q=0$ уравнение (4) называется Пуассона уравнением: \[ \Delta u=-f(x), \] а при $f=0$ - Лапласа уравнением: \[ \Delta u=0 \] Уравнениям Лапласа и Пуассона удовлетворяют различного рода потенциалы: ньютонов (кулонов) потенциал, потенциал течения несжимаемой жидкости и т. П. Если при волновом уравнении (2) внешнее возмущение $f$ - периодическое с частотой $\omega$ : \[ f(x, t)=a^{2} f(x) e^{i \omega t} \] то амплитуда $u(x)$ периодич. решений с той же частотой $\omega$ : \[ u(x, t)=u(x) e^{i \omega t} \] удовлетворяет Гельмгольца уравнению: \[ \Delta u+k^{2} u=-f(x), k^{2}=\omega^{2} / a^{2} . \] $\mathrm{K}$ уравнению Гельмгольца приводят задачи на рассеяние (дифракцию). Для полного описания процесса колебаний необходимо задать начальное возмущение и начальную скорость \[ k \frac{\partial u}{\partial n}+\left.h u\right|_{S}=v(x, t), \quad t>0, \] а для процесса диффузии - только начальное возмущение \[ \left.u\right|_{t=0}=u_{0}(x), x \in \bar{G} . \] Кроме того, на границе $S$ области $G$ необходимо удовлетворить заданному режиму. В простейших случаях физически осмысленные граничные условия для уравнений (1), (3), (4) описываются соотношением \[ k \frac{\partial u}{\partial n}+\left.h u\right|_{S}=v(x, t), \quad t>0, \] где $k$ и $h-$ заданные неотрицательные функции, не обращающиеся в нуль одновременно, $\boldsymbol{n}-$ внешняя нормаль $\mathrm{K}$ поверхности $S, v$ - заданная функция. Напр., для струны условие \[ \left.u\right|_{x=x_{0}}=0 \] означает, что конец струны $x_{0}$ закреплен, а условие \[ \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=x_{0}}=0 \] означает, что конец $x_{0}$ свободен. Для теплопроводности условие \[ \left.u\right|_{S}=v_{0}(x, t) \] означает, что на границе $S$ области $G$ поддерживается заданный температурный режим, а условие \[ \left.\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{S}=v_{1}(x, t) \] задает поток тепла через $S$. В случае неограниченных областей, напр. внешности ограниченной области, кроме условия на границе задается также условие на бесконечности. Так, для уравнения Пуассона (5) в пространстве $(n=3)$ таким условием является условие \[ u(x)=o(1),|x| \rightarrow \infty, \] а на плоскости $(n=2)$ - условие \[ u(x)=O(1),|x| \rightarrow \infty . \] Для уравнения Гельмгольца (6) на бесконечности задаются условия излучения: \[ \left.\begin{array}{l} u(x)=O\left(|x|^{-1}\right), \\ \frac{\partial u(x)}{\partial|x|} \mp i k u(x)=o\left(|x|^{-1}\right), \quad|x| \rightarrow \infty, \end{array}\right\} \] причем знак - соответствует расходящимся, а знак + сходящимся волнам. Краевая задача, к-рая содержит только начальные условия (и, стало быть, не содержит граничных условий, так что область $G$ - все пространство $\mathbb{R}^{n}$ ), называется Коши задачей. Если в краевой задаче присутствуют и начальные и граничные условия, то такая задача называется смешанной задачей. Для уравнения (4) краевая задача с граничным условием \[ \left.u\right|_{S}=v_{0}(x) \] называется Дирихле задачей, а с граничным условием \[ \left.\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{S}=v_{1}(x) \] - Неймана задачей. Различают внешние и внутренние задачи Дирихле и Неймана. Для внешних задач кроме граничных условий необходимо задавать условия на бесконечности типа (7), (8), (9). Перечисленные краевые задачи далеко не исчерпывают все многообразие краевых задач математич. физики - это есть простейшие классич. примеры краевых задач. Краевые задачи, описывающие реальные физич. процессы, могут быть весьма сложными: это могут быть системы уравнений высших порядков, нелинейные уравнения. Сюда в первую очередь относятся: Шредингера уравнение, гидродинамики уравнения, Максвелла уравнения, Кортевега - де Фриса уравнение, уравнения теории упругости и пластичности и др. Лит.: [1] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977; [2] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1987; [3] Михайлов В. П., Дифференциальные уравнения в частных производных, 2 изд., М., 1983; [4] Владимиров В. С., Обобщенные функции в $\begin{array}{ll}\text { математической физике, } 2 \text { изд., М., } 1979 . & \text { B. С. Владимиров. }\end{array}$

уравнения, описывающие математические модели физических явлений. М. ф.к.у. - часть предмета математич. физики. Многие явления физики и механики (гидро- и газодинамики, упругости, электродинамики, оптики, теории переноса, физики плазмы, квантовой физики, теории гравитации и т. п.) описываются краевыми задачами для дифференциальных уравнений. Эти задачи составляют весьма широкий класс М. Ф. к. у. Для полного описания эволюции физич. процесса помимо уравнений, необходимо, во-первых, задать картину процесса в нек-рый фиксированный момент времени (начальные условия) и, во-вторых, задать режим на границе той среды, где протекает этот процесс (граничные условия). Начальные и граничные условия образуют краевые условия, а дифференциальные уравнения вместе с соответствующими краевыми условиями - краевые задачи математич. физики. Ниже приведены нек-рые примеры уравнений и соответствующих краевых задач. Уравнение колебаний (волновое уравнение) \[ \rho \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\operatorname{div}(p \operatorname{grad} u)-q u+f(x, t) \] описывает малые колебания струн, стержней, мембран, акустические и электромагнитные колебания. В уравнении (1) пространственные переменные $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ изменяются в области $G \subset \mathbb{R}^{n}, n=1,2,3$, где развивается рассматриваемый физич. процесс; при этом в соответствии с физич. смыслом входящих величин должно быть $\rho>0, p>0, q>0$. При $\rho=1, p=a^{2}=$ const и $q=0$ уравнение (1) превращается в волновое уравнение \[ \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \Delta u+f(x, t) \] где $\Delta$ - оператор Лапласа. Диффузии уравнение \[ \rho \frac{\partial u}{\partial t}=\operatorname{div}(p \operatorname{grad} u)-q u+f(x, t) \] описывает процессы диффузии частиц и распространения тепла в среде. При $\rho=1, p=a^{2}=$ const и $q=0$ уравнение (3) превращается в теплопроводности уравнение \[ \frac{\partial u}{\partial t}=a^{2} \Delta u+f(x, t) . \] Для стационарных процессов, когда отсутствует зависимость от времени $t$, уравнения колебаний (1) и диффузии (3) принимают вид: \[ -\operatorname{div}(p \operatorname{grad} u)+q u=f(x) . \] При $p=1$ и $q=0$ уравнение (4) называется Пуассона уравнением: \[ \Delta u=-f(x), \] а при $f=0$ - Лапласа уравнением: \[ \Delta u=0 \] Уравнениям Лапласа и Пуассона удовлетворяют различного рода потенциалы: ньютонов (кулонов) потенциал, потенциал течения несжимаемой жидкости и т. П. Если при волновом уравнении (2) внешнее возмущение $f$ - периодическое с частотой $\omega$ : \[ f(x, t)=a^{2} f(x) e^{i \omega t} \] то амплитуда $u(x)$ периодич. решений с той же частотой $\omega$ : \[ u(x, t)=u(x) e^{i \omega t} \] удовлетворяет Гельмгольца уравнению: \[ \Delta u+k^{2} u=-f(x), k^{2}=\omega^{2} / a^{2} . \] $\mathrm{K}$ уравнению Гельмгольца приводят задачи на рассеяние (дифракцию). Для полного описания процесса колебаний необходимо задать начальное возмущение и начальную скорость \[ k \frac{\partial u}{\partial n}+\left.h u\right|_{S}=v(x, t), \quad t>0, \] а для процесса диффузии - только начальное возмущение \[ \left.u\right|_{t=0}=u_{0}(x), x \in \bar{G} . \] Кроме того, на границе $S$ области $G$ необходимо удовлетворить заданному режиму. В простейших случаях физически осмысленные граничные условия для уравнений (1), (3), (4) описываются соотношением \[ k \frac{\partial u}{\partial n}+\left.h u\right|_{S}=v(x, t), \quad t>0, \] где $k$ и $h-$ заданные неотрицательные функции, не обращающиеся в нуль одновременно, $\boldsymbol{n}-$ внешняя нормаль $\mathrm{K}$ поверхности $S, v$ - заданная функция. Напр., для струны условие \[ \left.u\right|_{x=x_{0}}=0 \] означает, что конец струны $x_{0}$ закреплен, а условие \[ \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=x_{0}}=0 \] означает, что конец $x_{0}$ свободен. Для теплопроводности условие \[ \left.u\right|_{S}=v_{0}(x, t) \] означает, что на границе $S$ области $G$ поддерживается заданный температурный режим, а условие \[ \left.\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{S}=v_{1}(x, t) \] задает поток тепла через $S$. В случае неограниченных областей, напр. внешности ограниченной области, кроме условия на границе задается также условие на бесконечности. Так, для уравнения Пуассона (5) в пространстве $(n=3)$ таким условием является условие \[ u(x)=o(1),|x| \rightarrow \infty, \] а на плоскости $(n=2)$ - условие \[ u(x)=O(1),|x| \rightarrow \infty . \] Для уравнения Гельмгольца (6) на бесконечности задаются условия излучения: \[ \left.\begin{array}{l} u(x)=O\left(|x|^{-1}\right), \\ \frac{\partial u(x)}{\partial|x|} \mp i k u(x)=o\left(|x|^{-1}\right), \quad|x| \rightarrow \infty, \end{array}\right\} \] причем знак - соответствует расходящимся, а знак + сходящимся волнам. Краевая задача, к-рая содержит только начальные условия (и, стало быть, не содержит граничных условий, так что область $G$ - все пространство $\mathbb{R}^{n}$ ), называется Коши задачей. Если в краевой задаче присутствуют и начальные и граничные условия, то такая задача называется смешанной задачей. Для уравнения (4) краевая задача с граничным условием \[ \left.u\right|_{S}=v_{0}(x) \] называется Дирихле задачей, а с граничным условием \[ \left.\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{S}=v_{1}(x) \] - Неймана задачей. Различают внешние и внутренние задачи Дирихле и Неймана. Для внешних задач кроме граничных условий необходимо задавать условия на бесконечности типа (7), (8), (9). Перечисленные краевые задачи далеко не исчерпывают все многообразие краевых задач математич. физики - это есть простейшие классич. примеры краевых задач. Краевые задачи, описывающие реальные физич. процессы, могут быть весьма сложными: это могут быть системы уравнений высших порядков, нелинейные уравнения. Сюда в первую очередь относятся: Шредингера уравнение, гидродинамики уравнения, Максвелла уравнения, Кортевега - де Фриса уравнение, уравнения теории упругости и пластичности и др. Лит.: [1] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977; [2] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1987; [3] Михайлов В. П., Дифференциальные уравнения в частных производных, 2 изд., М., 1983; [4] Владимиров В. С., Обобщенные функции в $\begin{array}{ll}\text { математической физике, } 2 \text { изд., М., } 1979 . & \text { B. С. Владимиров. }\end{array}$