БЕТЕ-СОЛПИТЕРА УРАВНЕНИЕ

релятивистское соотношение для двухчастичной Грина функции $D\left(x_{1}, x_{2} ; x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}\right)$ системы двух частиц (или полей): \[ \begin{gathered} D\left(x_{1}, x_{2} ; x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}\right)=\bar{D}\left(x_{1}, x_{2} ; x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}\right)+ \\ +\int K\left(x_{1}, x_{2} ; x_{3}, x_{4}\right) D\left(x_{3}, x_{4} ; x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}\right) d^{4} x_{3} d^{4} x_{4} \end{gathered} \] $\left(x_{1}, x_{2}, x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}\right.$ - начальные и конечные 4-мерные координаты частиц). Сформулировано Х. Бете (H. Bethe) и Э. Солпитером (E. Salpeter) в 1951 для описания связанных состояний системы частиц 1 и 2, к-рым отвечают полюсы функции $D$ [в этом случае в уравнении $\left(^{*}\right)$ отсутствует неоднородный член $\vec{D}$, не содержащий этих полюсов], и опирается на инвариантную теорию возмущений в форме Фейнмана диаграмм. Б.-С.у. связывает полную функцию Грина двух частиц $D\left(x_{1}, x_{2} ; x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}\right)$, понимаемую как сумма всех диаграмм Фейнмана (рис. 1, левая часть), с определенной, топологически выделенной частью этой суммы $\bar{D}\left(\mathrm{x}_{1}\right.$, $\left.x_{2} ; x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}\right)$ (рис. 1, первое слагаемое правой части), представляющей собой сумму всех двухчастично неприводимых диаграмм в $\mathrm{t}$-канале [в к-ром кинематич. переменная $t=\left(p_{1}+p_{2}\right)^{2}$, где $p_{1}, p_{2}-4$-импульсы частиц 1,2$]$, то есть таких диаграмм, к-рые нельзя разбить на две связные части, содержащие точки $x_{1}, x_{2}$ и $x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}$, разорвав только две линии, идущие в направлении $t$-канала. Ядро $K$ Б.-С. у. явным образом выражается через сумму двухчастично неприводимых диаграмм $\bar{D}$ и функции Грина свободных частиц [второе слагаемое в правой части рис. 1  Рис. 1. отвечает интегральному члену в уравнении $\left.\left({ }^{*}\right)\right]$. Оно строится на основе лагранжиана взаимодействия частиц с полем, но само поле в уравнение $\left({ }^{*}\right)$ явно не входит. Поскольку, кроме теории возмущений, других конструктивных методов вычисления ядра (так же, как и неоднородного члена) точного Б.-С. у. не существует, его следует рассматривать только как удобное соотношение, позволяющее неявным образом выразить всю сумму диаграмм Фейнмана через их двухчастично неприводимую часть. Часто под Б.-С.у. понимают приближенное уравнение (так наз. лестничное приближение), к-рое получается, если ограничиться в сумме двухчастично неприводимых диаграмм низшим порядком теории возмущений, то  есть однократным обменом квантом поля между двумя взаимодействующими частицами (рис. 2). В этом приближении Б.-С. у. обычно используется для релятивистского описания связанных состояний системы двух слабо взаимодействующих частиц. В нерелятивистском пределе Б.-С.у. перестает зависеть от двух различных времен и переходит в уравнение Шредингера с соответствующим потенциалом. Уравнение $\left({ }^{*}\right)$ можно понимать и как уравнение непосредственно для амплитуды рассеяния двух частиц. В этом случае $D$ следует считать амплитудой, а $\bar{D}-$ ее неприводимой частью. Упомянутое выше соотношение между функциями $\bar{D}$ и $K$ сохраняется. Учитывая перекрестную симметрию амплитуды рассеяния, связывающую различные каналы реакции (этому свойству удовлетворяют диаграммы Фейнмана во всех порядках теории возмущений), можно использовать Б.-С. у. для описания взаимодействия частиц в $s$-канале [в к-ром кинематич. переменная $s=\left(p_{1}-p_{1}^{\prime}\right)^{2}$; см. рис. 1], то есть рассматривать с его помощью столкновение частицы 1 с античастицей $\tilde{l}^{\prime}$ с превращением их в частицу 2 и античастицу $\tilde{2}^{\prime}$. Такая трактовка Б.-С.у. положена в основу мультипериферич. модели процессов множественного рождения частиц при высоких энергиях. В этом случае из Б.-С. у. удается получить аналогичное, но более простое уравнение для мнимой части амплитуды рассеяния частиц $l$ и $\widetilde{l}^{\prime}$ в $s$-канале, к-рая посредством оптической теоремы связана с полным сечением упомянутых процессов. Лит.: [1] Salpeter E. E., Bethe H. A., A relativistic equation for bound-state problems, «Phys. Rev.», 1951, v. 84, p. 1232; [2] Швебер С., Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, пер. с англ., М., 1963, гл. 17, §6; [3] Дунаевский А. М., Ройзен И. И., О виковском повороте в рамках уравнения Бете-Солпитера, «Ядерная физика», 1971, т. 14, с. 855; [4] Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П., Релятивистская квантовая теория, ч. 2, М., 1971. И. И. Ройзен.

релятивистское соотношение для двухчастичной Грина функции $D\left(x_{1}, x_{2} ; x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}\right)$ системы двух частиц (или полей): \[ \begin{gathered} D\left(x_{1}, x_{2} ; x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}\right)=\bar{D}\left(x_{1}, x_{2} ; x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}\right)+ \\ +\int K\left(x_{1}, x_{2} ; x_{3}, x_{4}\right) D\left(x_{3}, x_{4} ; x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}\right) d^{4} x_{3} d^{4} x_{4} \end{gathered} \] $\left(x_{1}, x_{2}, x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}\right.$ - начальные и конечные 4-мерные координаты частиц). Сформулировано Х. Бете (H. Bethe) и Э. Солпитером (E. Salpeter) в 1951 для описания связанных состояний системы частиц 1 и 2, к-рым отвечают полюсы функции $D$ [в этом случае в уравнении $\left(^{*}\right)$ отсутствует неоднородный член $\vec{D}$, не содержащий этих полюсов], и опирается на инвариантную теорию возмущений в форме Фейнмана диаграмм. Б.-С.у. связывает полную функцию Грина двух частиц $D\left(x_{1}, x_{2} ; x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}\right)$, понимаемую как сумма всех диаграмм Фейнмана (рис. 1, левая часть), с определенной, топологически выделенной частью этой суммы $\bar{D}\left(\mathrm{x}_{1}\right.$, $\left.x_{2} ; x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}\right)$ (рис. 1, первое слагаемое правой части), представляющей собой сумму всех двухчастично неприводимых диаграмм в $\mathrm{t}$-канале [в к-ром кинематич. переменная $t=\left(p_{1}+p_{2}\right)^{2}$, где $p_{1}, p_{2}-4$-импульсы частиц 1,2$]$, то есть таких диаграмм, к-рые нельзя разбить на две связные части, содержащие точки $x_{1}, x_{2}$ и $x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}$, разорвав только две линии, идущие в направлении $t$-канала. Ядро $K$ Б.-С. у. явным образом выражается через сумму двухчастично неприводимых диаграмм $\bar{D}$ и функции Грина свободных частиц [второе слагаемое в правой части рис. 1  Рис. 1. отвечает интегральному члену в уравнении $\left.\left({ }^{*}\right)\right]$. Оно строится на основе лагранжиана взаимодействия частиц с полем, но само поле в уравнение $\left({ }^{*}\right)$ явно не входит. Поскольку, кроме теории возмущений, других конструктивных методов вычисления ядра (так же, как и неоднородного члена) точного Б.-С. у. не существует, его следует рассматривать только как удобное соотношение, позволяющее неявным образом выразить всю сумму диаграмм Фейнмана через их двухчастично неприводимую часть. Часто под Б.-С.у. понимают приближенное уравнение (так наз. лестничное приближение), к-рое получается, если ограничиться в сумме двухчастично неприводимых диаграмм низшим порядком теории возмущений, то  есть однократным обменом квантом поля между двумя взаимодействующими частицами (рис. 2). В этом приближении Б.-С. у. обычно используется для релятивистского описания связанных состояний системы двух слабо взаимодействующих частиц. В нерелятивистском пределе Б.-С.у. перестает зависеть от двух различных времен и переходит в уравнение Шредингера с соответствующим потенциалом. Уравнение $\left({ }^{*}\right)$ можно понимать и как уравнение непосредственно для амплитуды рассеяния двух частиц. В этом случае $D$ следует считать амплитудой, а $\bar{D}-$ ее неприводимой частью. Упомянутое выше соотношение между функциями $\bar{D}$ и $K$ сохраняется. Учитывая перекрестную симметрию амплитуды рассеяния, связывающую различные каналы реакции (этому свойству удовлетворяют диаграммы Фейнмана во всех порядках теории возмущений), можно использовать Б.-С. у. для описания взаимодействия частиц в $s$-канале [в к-ром кинематич. переменная $s=\left(p_{1}-p_{1}^{\prime}\right)^{2}$; см. рис. 1], то есть рассматривать с его помощью столкновение частицы 1 с античастицей $\tilde{l}^{\prime}$ с превращением их в частицу 2 и античастицу $\tilde{2}^{\prime}$. Такая трактовка Б.-С.у. положена в основу мультипериферич. модели процессов множественного рождения частиц при высоких энергиях. В этом случае из Б.-С. у. удается получить аналогичное, но более простое уравнение для мнимой части амплитуды рассеяния частиц $l$ и $\widetilde{l}^{\prime}$ в $s$-канале, к-рая посредством оптической теоремы связана с полным сечением упомянутых процессов. Лит.: [1] Salpeter E. E., Bethe H. A., A relativistic equation for bound-state problems, «Phys. Rev.», 1951, v. 84, p. 1232; [2] Швебер С., Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, пер. с англ., М., 1963, гл. 17, §6; [3] Дунаевский А. М., Ройзен И. И., О виковском повороте в рамках уравнения Бете-Солпитера, «Ядерная физика», 1971, т. 14, с. 855; [4] Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П., Релятивистская квантовая теория, ч. 2, М., 1971. И. И. Ройзен.