МЕМБРАНЫ ЗАДАЧА

задача отыскания формы [смещения $u(x), x \in D]$, которую примет упругая мембрана, закрепленная на границе $\partial D$ области $D$, при растяжении телом заданной формы [препятствием $\varphi \in C(\bar{D}), \varphi \leqslant 0$ на $\partial D$, если внешние силы отсутствуют. Решение $u$ должно минимизировать интеграл энергии $I(v)=\frac{1}{2} \int|\nabla v|^{2}$ на множестве допустимых смещений, то есть на $K=\left\{v \in \stackrel{\circ}{W}_{2}^{1}(D) \mid v \geqslant \varphi\right.$ в $\left.D\right\}$. М. з. является частным случаем препятствия задачи. Множество $\partial\{x \in \bar{D}: v>\varphi\}$, на к-ром мембрана «отлипает» от препятствия, априори неизвестно, и оно является свободной (неизвестной) границей. Лит.: [1] Фридман А., Вариационные принципы и задачи со свободными границами, М., 1990.

задача отыскания формы [смещения $u(x), x \in D]$, которую примет упругая мембрана, закрепленная на границе $\partial D$ области $D$, при растяжении телом заданной формы [препятствием $\varphi \in C(\bar{D}), \varphi \leqslant 0$ на $\partial D$, если внешние силы отсутствуют. Решение $u$ должно минимизировать интеграл энергии $I(v)=\frac{1}{2} \int|\nabla v|^{2}$ на множестве допустимых смещений, то есть на $K=\left\{v \in \stackrel{\circ}{W}_{2}^{1}(D) \mid v \geqslant \varphi\right.$ в $\left.D\right\}$. М. з. является частным случаем препятствия задачи. Множество $\partial\{x \in \bar{D}: v>\varphi\}$, на к-ром мембрана «отлипает» от препятствия, априори неизвестно, и оно является свободной (неизвестной) границей. Лит.: [1] Фридман А., Вариационные принципы и задачи со свободными границами, М., 1990.