МЕТРИКА

обобщение понятия расстояния между точками евклидова пространства на множества, в которых можно ввести М. (метрические пространства). Для точек $x, y$ такого пространства М. $\rho(x, y)$ - это действительная неотрицательная функция, удовлетворяющая условиям: 1) $\rho(x, y)=0$ лишь при $x=y$; 2) $\rho(x, y)=\rho(y, x)$ 3) $\rho(x, y)+\rho(y, z) \geqslant \rho(x, z)$. Вид М. зависит как от самого пространства, так и от выбора системы координат в нем. Простейший пример М.- расстояние \[ \left[\sum_{i=1}^{n}\left(x^{i}-y^{i}\right)^{2}\right]^{1 / 2} \] в декартовых координатах евклидова пространства. М. евклидова пространства в криволинейных координатах и М. риманова пространства определяются метрическим тензором. М. гильбертова пространства задается его нормой (или скалярным произведением). Понятие М. применяется и в тех случаях, когда не все условия 1)-3) выполнены: напр., если $\rho(x, y)=0$ не только при $x=y$, то $\rho$ называют псевдометрикой. Если М. не является положительно определенной, то ее называют индефинитной метрикой; физич. примером такой ситуации служит М. пространства Минковского в теории относительности.

обобщение понятия расстояния между точками евклидова пространства на множества, в которых можно ввести М. (метрические пространства). Для точек $x, y$ такого пространства М. $\rho(x, y)$ - это действительная неотрицательная функция, удовлетворяющая условиям: 1) $\rho(x, y)=0$ лишь при $x=y$; 2) $\rho(x, y)=\rho(y, x)$ 3) $\rho(x, y)+\rho(y, z) \geqslant \rho(x, z)$. Вид М. зависит как от самого пространства, так и от выбора системы координат в нем. Простейший пример М.- расстояние \[ \left[\sum_{i=1}^{n}\left(x^{i}-y^{i}\right)^{2}\right]^{1 / 2} \] в декартовых координатах евклидова пространства. М. евклидова пространства в криволинейных координатах и М. риманова пространства определяются метрическим тензором. М. гильбертова пространства задается его нормой (или скалярным произведением). Понятие М. применяется и в тех случаях, когда не все условия 1)-3) выполнены: напр., если $\rho(x, y)=0$ не только при $x=y$, то $\rho$ называют псевдометрикой. Если М. не является положительно определенной, то ее называют индефинитной метрикой; физич. примером такой ситуации служит М. пространства Минковского в теории относительности.