МЕТРИКА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

основная геометрическая структура, которой наделяется пространственно-временное многообразие в специальной и общей теории относительности; определяется заданием поля симметричного ковариантного тензора 2-го ранга с отличным от нуля определителем - метрического тензора. Метрич. тензор в специальной теории относительности имеет вид: \[ \eta_{\mu \nu}=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1) \] (псевдоевклидова метрика сигнатуры -2); пространственно-временное многообразие с такой метрикой называется пространством-временем Минковского. В общей теории относительности вводится метрич. тензор $g_{\mu \nu}(x)$ более общего вида, удовлетворяющий, однако, требованию, чтобы в достаточно малой окрестности любой заданной пространственно-временной точки $x$ специальным выбором координат $g_{\mu v}(x)$ можно было свести к $\eta_{\mu \nu}$; такое пространство-время является псевдориманово пространство сигнатуры -2 . М. п.-в. задает квадрат интервала - «расстояния» между событиями, с к-рыми сопоставляются точки пространства-времени: \[ d s^{2}=g_{\mu v} d x^{\mu} d x^{\nu} \] При преобразованиях пространственно-временных координат метрич. тензор, вообще говоря, изменяется (такие преобразования включают и переход к произвольно движущейся в каждой точке системе отсчета) так, чтобы величина $d s^{2}$ оставалась инвариантной. Существуют, однако,- преобразования, оставляющие метрич. тензор форм-инвариантным (преобразования изометрии), они выражают собой геометрич. симметрии пространства-времени, обусловленные физич. содержанием теории. Так, метрич. тензор пространства-времени Минковского в специальной теории относительности не изменяется при преобразованиях координат из группы Пуанкаре, включающих переносы начала отсчета пространственных координат и времени, повороты пространственных осей и Лоренца преобразования. Поскольку последние интерпретируются как описывающие переход от одной инерционной системы отсчета к другой, инвариантность метрики пространства-времени Минковского означает, что уравнения, записанные в лоренц-ковариантной форме, будут автоматически удовлетворять принципу относительности Эйнштейна. В общей теории относительности существование преобразований, не изменяющих М. п.-в., возможно лишь при наличии соответствующих симметрий гравитационного поля. Так, метрич. тензор пространства-времени Шварцшильда инвариантен относительно пространственных поворотов и временных сдвигов, что отражает центральный характер гравитационного поля и его статичность; структура метрич. тензора в моделях Фридмана, описывающих крупномасштабную структуру пространства-времени Вселенной в целом, отражает факт однородности и изотропии Вселенной в больших масштабах. Если нек-рое преобразование изометрии порождается векторным полем, то такое векторное поле называется полем Киллинга (W. Killing, 1892) и удовлетворяет уравнению \[ \xi_{\mu ; v}+\xi_{v ; \mu}=0 \] где точкой с запятой обозначена ковариантная производная, согласованная с метрикой. Следует иметь в виду, что М. П.-в. отражает не только характер гравитационного поля, но и выбор системы координат в пространстве-времени (системы отсчета). Так, переход к криволинейным координатам в пространстве-времени Минковского (к ускоренной системе отсчета) приводит к метрич. тензору общего вида, однако собственно гравитационного поля в этом случае нет. Истинное гравитационное поле связано с тензором кривизны Римана-Кристоффеля, к-рый равен нулю в плоском пространстве-времени в любой системе отсчета. М. П.-в. в случае слабого гравитационного поля непосредственно связана с ньютоновским гравитационным потенциалом $\varphi$, а именно: \[ g_{\mu \nu} \approx \eta_{\mu \nu}+h_{\mu \nu} \] где $h_{\mu \nu}$ - малые добавки, характеризующие отклонение метрики от плоской, причем \[ h_{00}=2 \varphi / c^{2} \text {. } \] Помимо задания расстояний в пространстве-времени М. п.-в. служит для определения «длины» 4-векторов $A$ : \[ \sqrt{A^{2}}=\sqrt{A^{\mu} A^{v} g_{\mu \nu}} \] а также позволяет ввести операции поднятия и опускания индексов у векторов и тензоров. Определитель метрич. тензора задает инвариантный элемент объема в пространстве-времени: \[ d \Omega=\sqrt{-g} d^{4} x, \] где $g$ - определитель метрич. тензора. Д. В. Гальцов.

основная геометрическая структура, которой наделяется пространственно-временное многообразие в специальной и общей теории относительности; определяется заданием поля симметричного ковариантного тензора 2-го ранга с отличным от нуля определителем - метрического тензора. Метрич. тензор в специальной теории относительности имеет вид: \[ \eta_{\mu \nu}=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1) \] (псевдоевклидова метрика сигнатуры -2); пространственно-временное многообразие с такой метрикой называется пространством-временем Минковского. В общей теории относительности вводится метрич. тензор $g_{\mu \nu}(x)$ более общего вида, удовлетворяющий, однако, требованию, чтобы в достаточно малой окрестности любой заданной пространственно-временной точки $x$ специальным выбором координат $g_{\mu v}(x)$ можно было свести к $\eta_{\mu \nu}$; такое пространство-время является псевдориманово пространство сигнатуры -2 . М. п.-в. задает квадрат интервала - «расстояния» между событиями, с к-рыми сопоставляются точки пространства-времени: \[ d s^{2}=g_{\mu v} d x^{\mu} d x^{\nu} \] При преобразованиях пространственно-временных координат метрич. тензор, вообще говоря, изменяется (такие преобразования включают и переход к произвольно движущейся в каждой точке системе отсчета) так, чтобы величина $d s^{2}$ оставалась инвариантной. Существуют, однако,- преобразования, оставляющие метрич. тензор форм-инвариантным (преобразования изометрии), они выражают собой геометрич. симметрии пространства-времени, обусловленные физич. содержанием теории. Так, метрич. тензор пространства-времени Минковского в специальной теории относительности не изменяется при преобразованиях координат из группы Пуанкаре, включающих переносы начала отсчета пространственных координат и времени, повороты пространственных осей и Лоренца преобразования. Поскольку последние интерпретируются как описывающие переход от одной инерционной системы отсчета к другой, инвариантность метрики пространства-времени Минковского означает, что уравнения, записанные в лоренц-ковариантной форме, будут автоматически удовлетворять принципу относительности Эйнштейна. В общей теории относительности существование преобразований, не изменяющих М. п.-в., возможно лишь при наличии соответствующих симметрий гравитационного поля. Так, метрич. тензор пространства-времени Шварцшильда инвариантен относительно пространственных поворотов и временных сдвигов, что отражает центральный характер гравитационного поля и его статичность; структура метрич. тензора в моделях Фридмана, описывающих крупномасштабную структуру пространства-времени Вселенной в целом, отражает факт однородности и изотропии Вселенной в больших масштабах. Если нек-рое преобразование изометрии порождается векторным полем, то такое векторное поле называется полем Киллинга (W. Killing, 1892) и удовлетворяет уравнению \[ \xi_{\mu ; v}+\xi_{v ; \mu}=0 \] где точкой с запятой обозначена ковариантная производная, согласованная с метрикой. Следует иметь в виду, что М. П.-в. отражает не только характер гравитационного поля, но и выбор системы координат в пространстве-времени (системы отсчета). Так, переход к криволинейным координатам в пространстве-времени Минковского (к ускоренной системе отсчета) приводит к метрич. тензору общего вида, однако собственно гравитационного поля в этом случае нет. Истинное гравитационное поле связано с тензором кривизны Римана-Кристоффеля, к-рый равен нулю в плоском пространстве-времени в любой системе отсчета. М. П.-в. в случае слабого гравитационного поля непосредственно связана с ньютоновским гравитационным потенциалом $\varphi$, а именно: \[ g_{\mu \nu} \approx \eta_{\mu \nu}+h_{\mu \nu} \] где $h_{\mu \nu}$ - малые добавки, характеризующие отклонение метрики от плоской, причем \[ h_{00}=2 \varphi / c^{2} \text {. } \] Помимо задания расстояний в пространстве-времени М. п.-в. служит для определения «длины» 4-векторов $A$ : \[ \sqrt{A^{2}}=\sqrt{A^{\mu} A^{v} g_{\mu \nu}} \] а также позволяет ввести операции поднятия и опускания индексов у векторов и тензоров. Определитель метрич. тензора задает инвариантный элемент объема в пространстве-времени: \[ d \Omega=\sqrt{-g} d^{4} x, \] где $g$ - определитель метрич. тензора. Д. В. Гальцов.