МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ, ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ, ОДНОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

автоморфная функция комплексного переменного $z=x+i y$, ассоциированная с группой $\Gamma$ всех дробно-линейных преобразований $\gamma$ вида \[ z \rightarrow \gamma(z)=\frac{a z+b}{c z+d}, \quad a d-b c \neq 1, \] где $a, b, c, d$ - целые действительные числа (эта группа называется м о ду л я р н о й). Преобразования группы Г переводят действительную ось в себя, и областью определения М. ф. можно считать верхнюю полуплоскость $\{z: \operatorname{Im} z>0\}$. Группа $\Gamma$ порождается двумя образующими $z \rightarrow z+1, z \rightarrow$ $\rightarrow-1 / z$. Фундаментальная область $G$ модулярной группы изображена на рис. 1; это криволинейный четырехугольник $A B C D A$ с вершинами $A(\infty), \quad B(-1 / 2+i \sqrt{3 / 2})$, $C(i), D(1 / 2+i \sqrt{3} / 2)$, две стороны к-рого $A B$ и $D A$ - отрезки прямых соответственно $x=-1 / 2$ и $x=1 / 2$, а $B D-$ дуга окружности $|z|=1$. Участки границы $A B$ и $B C$ включаются в $G$, а $C D$ и $D A$ не включаются. Образы области $G$ при всевозможных отображениях группы $\Gamma$ покрывают всю полуплоскость $\operatorname{Im} z>0$ без пересечений. Изучение М. Ф. началось в 19 в. в связи с изучением эллиптич. функций и предшествовало появлению общей теории автоморфных функций. В теории М. Ф. в качестве основных модулярных форм используются следующие ряды: $g_{2}(z)=60 \sum_{m_{1}, m_{2} \in \mathbb{Z}}^{*} \frac{1}{\left(m_{1}+m_{2} z\right)^{4}}=(2 \pi)^{4}\left\{\frac{1}{12}+20 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3} h^{2 n}}{1-h^{2 n}}\right\}$, $g_{3}(z)=140 \sum_{m_{1}, m_{2} \in \mathbb{Z}}^{*} \frac{1}{\left(m_{1}+m_{2} z\right)^{6}}=(2 \pi)^{6}\left\{\frac{1}{216}-\frac{7}{3} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{5} h^{2 n}}{1-h^{2 n}}\right\}$, $\Delta(z)=g_{2}^{3}(z)-27 g_{3}^{2}(z)$, где $h=e^{i \pi z}$, а звездочка означает, что нулевая пара $\left(m_{1}, m_{2}\right)=(0,0)$ отбрасывается. Согласно терминологии К. Вейерштрасса (K. Weierstrass), это - относительные инварианты, играющие важную роль в его теории эллиптич. функций (см. Вейерштрасса эллиптические функции), а $\Delta$ называется также дискриминантом. С точки зрения теории автоморфных функций, это - автоморфные формы соответственно веса 2, 3 и 6, ассоциированные с модулярной группой. Основная М. Ф. имеет вид: \[ J(z)=\frac{g_{2}^{3}(z)}{\Delta(z)}=1+\frac{27 g_{3}^{2}(z)}{\Delta(z)} \] Функция $J(z)$ называется также абсолютным инвариантом. Она регулярна в верхней полуплоскости, а внутри фундаментальной области $G$ принимает каждое конечное значение, кроме 0 и 1, в точности один раз; кроме того, $J(-1 / 2+i \sqrt{3} / 2)=0, J(i)=1$. В теории эллиптич. функций М. Ф. $J(z)$ играет важную роль, позволяя по заданным вейерштрассовым относительным инвариантам $a=g_{2}, b=g_{3}, a^{3}-27 b^{2} \neq 0$ определить периоды $2 \omega_{1}, 2 \omega_{3}$, а следовательно, и построить все эллиптич. функции Вейерштрасса. Если $\tau$ - единственное в фундаментальной области решение уравнения \[ J(\tau)=a^{3} /\left(a^{3}-27 b^{2}\right) \] то при $a \neq 0, b \neq 0$ имеем $\omega_{1}^{2}=a / b, \omega_{3}=\omega_{1} \tau$; при $a=0$ имеем $\tau=-1 / 2+i \sqrt{3 / 2}$, и $\omega_{1}$ определяется из уравнения \[ \omega_{1}^{6}=\frac{140}{b} \sum_{m_{1}, m_{2} \in \mathbb{Z}}^{*} \frac{1}{\left(m_{1}+m_{2} \tau\right)^{6}}, \quad \omega_{3}=\omega_{1} \tau \] при $b=0$ имеем $\tau=i$, и $\omega_{1}$ определяется из уравнения \[ \omega_{1}^{4}=\frac{60}{a} \sum_{m_{1}, m_{2} \in \mathbb{Z}}^{*} \frac{1}{\left(m_{1}+m_{2} \tau\right)^{4}}, \quad \omega_{3}=\omega_{1} \tau . \] Для построения Якоби эллиптических функций удобнее, вместо $J(z)$, использовать функцию \[ \lambda(z)=k^{2}(z)=1-\prod_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1-h^{2 n-1}}{1+h^{2 n+1}}\right)^{8}, \quad h=e^{\pi i z}, \] также называемую М. Ф. На самом деле $\lambda(z)$ является автоморфной функцией только относительно подгруппы $\Gamma_{2}$ модулярной группы $\Gamma$, причем к $\Gamma_{2}$ относятся все те преобразования вида (1), у к-рых (в качестве дополнительного условия) $a$ и $d$ - нечетные числа, $b$ и $c$ - четные. Фундаментальная область $G_{2}$ группы $\Gamma_{2}$ изображена на рис. 2; это - криволинейный четырехугольник $A B O C A$ с вершинами $A(\infty), B(-1), O, C(1)$, две стороны к-рого $\boldsymbol{A B}$ и $C A$ - отрезки прямых соответственно $x=-1$ и $x=1$, а $B O$ и $O C$ - дуги окружностей соответственно $|z+1 / 2|=1 / 2$ и $|z-1 / 2|=1 / 2$. Участки границы слева от мнимой оси включаются в $G_{2}$, а $O C$ и $C A$ не включаются. Функция $\lambda(z)$ также регулярна в верхней полуплоскости $\operatorname{Im} z>0$. Внутри области $G_{2}$ она принимает каждое конечное значение, кроме 0 и 1, в точности один раз; кроме того, $\lambda(\infty)=0$ и $\lambda(0)=1$.

автоморфная функция комплексного переменного $z=x+i y$, ассоциированная с группой $\Gamma$ всех дробно-линейных преобразований $\gamma$ вида \[ z \rightarrow \gamma(z)=\frac{a z+b}{c z+d}, \quad a d-b c \neq 1, \] где $a, b, c, d$ - целые действительные числа (эта группа называется м о ду л я р н о й). Преобразования группы Г переводят действительную ось в себя, и областью определения М. ф. можно считать верхнюю полуплоскость $\{z: \operatorname{Im} z>0\}$. Группа $\Gamma$ порождается двумя образующими $z \rightarrow z+1, z \rightarrow$ $\rightarrow-1 / z$. Фундаментальная область $G$ модулярной группы изображена на рис. 1; это криволинейный четырехугольник $A B C D A$ с вершинами $A(\infty), \quad B(-1 / 2+i \sqrt{3 / 2})$, $C(i), D(1 / 2+i \sqrt{3} / 2)$, две стороны к-рого $A B$ и $D A$ - отрезки прямых соответственно $x=-1 / 2$ и $x=1 / 2$, а $B D-$ дуга окружности $|z|=1$. Участки границы $A B$ и $B C$ включаются в $G$, а $C D$ и $D A$ не включаются. Образы области $G$ при всевозможных отображениях группы $\Gamma$ покрывают всю полуплоскость $\operatorname{Im} z>0$ без пересечений. Изучение М. Ф. началось в 19 в. в связи с изучением эллиптич. функций и предшествовало появлению общей теории автоморфных функций. В теории М. Ф. в качестве основных модулярных форм используются следующие ряды: $g_{2}(z)=60 \sum_{m_{1}, m_{2} \in \mathbb{Z}}^{*} \frac{1}{\left(m_{1}+m_{2} z\right)^{4}}=(2 \pi)^{4}\left\{\frac{1}{12}+20 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3} h^{2 n}}{1-h^{2 n}}\right\}$, $g_{3}(z)=140 \sum_{m_{1}, m_{2} \in \mathbb{Z}}^{*} \frac{1}{\left(m_{1}+m_{2} z\right)^{6}}=(2 \pi)^{6}\left\{\frac{1}{216}-\frac{7}{3} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{5} h^{2 n}}{1-h^{2 n}}\right\}$, $\Delta(z)=g_{2}^{3}(z)-27 g_{3}^{2}(z)$, где $h=e^{i \pi z}$, а звездочка означает, что нулевая пара $\left(m_{1}, m_{2}\right)=(0,0)$ отбрасывается. Согласно терминологии К. Вейерштрасса (K. Weierstrass), это - относительные инварианты, играющие важную роль в его теории эллиптич. функций (см. Вейерштрасса эллиптические функции), а $\Delta$ называется также дискриминантом. С точки зрения теории автоморфных функций, это - автоморфные формы соответственно веса 2, 3 и 6, ассоциированные с модулярной группой. Основная М. Ф. имеет вид: \[ J(z)=\frac{g_{2}^{3}(z)}{\Delta(z)}=1+\frac{27 g_{3}^{2}(z)}{\Delta(z)} \] Функция $J(z)$ называется также абсолютным инвариантом. Она регулярна в верхней полуплоскости, а внутри фундаментальной области $G$ принимает каждое конечное значение, кроме 0 и 1, в точности один раз; кроме того, $J(-1 / 2+i \sqrt{3} / 2)=0, J(i)=1$. В теории эллиптич. функций М. Ф. $J(z)$ играет важную роль, позволяя по заданным вейерштрассовым относительным инвариантам $a=g_{2}, b=g_{3}, a^{3}-27 b^{2} \neq 0$ определить периоды $2 \omega_{1}, 2 \omega_{3}$, а следовательно, и построить все эллиптич. функции Вейерштрасса. Если $\tau$ - единственное в фундаментальной области решение уравнения \[ J(\tau)=a^{3} /\left(a^{3}-27 b^{2}\right) \] то при $a \neq 0, b \neq 0$ имеем $\omega_{1}^{2}=a / b, \omega_{3}=\omega_{1} \tau$; при $a=0$ имеем $\tau=-1 / 2+i \sqrt{3 / 2}$, и $\omega_{1}$ определяется из уравнения \[ \omega_{1}^{6}=\frac{140}{b} \sum_{m_{1}, m_{2} \in \mathbb{Z}}^{*} \frac{1}{\left(m_{1}+m_{2} \tau\right)^{6}}, \quad \omega_{3}=\omega_{1} \tau \] при $b=0$ имеем $\tau=i$, и $\omega_{1}$ определяется из уравнения \[ \omega_{1}^{4}=\frac{60}{a} \sum_{m_{1}, m_{2} \in \mathbb{Z}}^{*} \frac{1}{\left(m_{1}+m_{2} \tau\right)^{4}}, \quad \omega_{3}=\omega_{1} \tau . \] Для построения Якоби эллиптических функций удобнее, вместо $J(z)$, использовать функцию \[ \lambda(z)=k^{2}(z)=1-\prod_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1-h^{2 n-1}}{1+h^{2 n+1}}\right)^{8}, \quad h=e^{\pi i z}, \] также называемую М. Ф. На самом деле $\lambda(z)$ является автоморфной функцией только относительно подгруппы $\Gamma_{2}$ модулярной группы $\Gamma$, причем к $\Gamma_{2}$ относятся все те преобразования вида (1), у к-рых (в качестве дополнительного условия) $a$ и $d$ - нечетные числа, $b$ и $c$ - четные. Фундаментальная область $G_{2}$ группы $\Gamma_{2}$ изображена на рис. 2; это - криволинейный четырехугольник $A B O C A$ с вершинами $A(\infty), B(-1), O, C(1)$, две стороны к-рого $\boldsymbol{A B}$ и $C A$ - отрезки прямых соответственно $x=-1$ и $x=1$, а $B O$ и $O C$ - дуги окружностей соответственно $|z+1 / 2|=1 / 2$ и $|z-1 / 2|=1 / 2$. Участки границы слева от мнимой оси включаются в $G_{2}$, а $O C$ и $C A$ не включаются. Функция $\lambda(z)$ также регулярна в верхней полуплоскости $\operatorname{Im} z>0$. Внутри области $G_{2}$ она принимает каждое конечное значение, кроме 0 и 1, в точности один раз; кроме того, $\lambda(\infty)=0$ и $\lambda(0)=1$.