МОМЕНТ ИНЕРЦИИ

величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. В механике различают М. и. осевые и центробежные. Осевым моментом инерции тела относительно оси $z$ называется величина, определяемая равенством: \[ I_{z}=\sum m_{i} h_{i}^{2} \text { или } I_{z}=\int_{V} \rho h^{2} d V \] где $m_{i}$ - массы точек тела, $h_{i}-$ их расстояния от оси $z$, а $\rho-$ массовая плотность, $V$ - объем тела. Величина $I_{z}$ является мерой инертности тела при его вращении вокруг оси. Осевой М. и. можно также выразить через линейную величину $r$, называемую радиусом инерции, по формуле \[ I_{z}=M r^{2} \] где $M$ - масса тела. Размерность М. и. $-L^{2} M$. Центробежными моментами инерции относительно системы прямоугольных осей $x, y, z$, проведенных в точке $O$, называются величины, определяемые равенствами: \[ \left.\begin{array}{rl} I_{x y} & =\sum m_{i} x_{i} y_{i}, \\ I_{y z} & =\sum m_{i} y_{i} z_{i}, \\ I_{z x} & =\sum m_{i} z_{i} x_{i} \end{array}\right\} \] или же соответствующими объемными интегралами. Эти величины являются характеристиками динамич. неуравновешенности тел. Напр., при вращении тела вокруг оси $z$ от значений $I_{x z}$ и $I_{y z}$ зависят силы давления на подшипники, в к-рых закреплена ось. M. и. относительно параллельных осей $z$ и $z^{\prime}$ связаны соотношением: \[ I_{z}=I_{z^{\prime}}-M d^{2} \] где $z^{\prime}-$ ось, проходящая через центр масс тела, а $d-$ расстояние между осями. М. и. относительно любой проходящей через начало координат $O$ оси $O l$ с направляющими косинусами $\alpha, \beta, \gamma$ находится по формуле: \[ I_{O l}=I_{x} \alpha^{2}-I_{y} \beta^{2}-I_{z} \gamma^{2}-2 I_{x y} \alpha \beta-2 I_{y z} \beta \gamma-2 I_{z x} \gamma \alpha \] Зная шесть величин $I_{x}, I_{y}, I_{z}, I_{x y}, I_{y z}, I_{z x}$, можно последовательно, используя формулы (4) и (3), вычислить всю совокупность М. и. тела относительно любых осей. Эти шесть величин определяют так наз. тензор инерции тела. Через каждую точку тела можно провести три такие взаимно перпендикулярные оси, называемые главными осями инерции, для к-рых \[ I_{x y}=I_{y z}=I_{z x}=0 . \] Тогда, зная главные оси инерции и М. и. относительно этих осей, можно определить М. и. тела относительно любой оси.

величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. В механике различают М. и. осевые и центробежные. Осевым моментом инерции тела относительно оси $z$ называется величина, определяемая равенством: \[ I_{z}=\sum m_{i} h_{i}^{2} \text { или } I_{z}=\int_{V} \rho h^{2} d V \] где $m_{i}$ - массы точек тела, $h_{i}-$ их расстояния от оси $z$, а $\rho-$ массовая плотность, $V$ - объем тела. Величина $I_{z}$ является мерой инертности тела при его вращении вокруг оси. Осевой М. и. можно также выразить через линейную величину $r$, называемую радиусом инерции, по формуле \[ I_{z}=M r^{2} \] где $M$ - масса тела. Размерность М. и. $-L^{2} M$. Центробежными моментами инерции относительно системы прямоугольных осей $x, y, z$, проведенных в точке $O$, называются величины, определяемые равенствами: \[ \left.\begin{array}{rl} I_{x y} & =\sum m_{i} x_{i} y_{i}, \\ I_{y z} & =\sum m_{i} y_{i} z_{i}, \\ I_{z x} & =\sum m_{i} z_{i} x_{i} \end{array}\right\} \] или же соответствующими объемными интегралами. Эти величины являются характеристиками динамич. неуравновешенности тел. Напр., при вращении тела вокруг оси $z$ от значений $I_{x z}$ и $I_{y z}$ зависят силы давления на подшипники, в к-рых закреплена ось. M. и. относительно параллельных осей $z$ и $z^{\prime}$ связаны соотношением: \[ I_{z}=I_{z^{\prime}}-M d^{2} \] где $z^{\prime}-$ ось, проходящая через центр масс тела, а $d-$ расстояние между осями. М. и. относительно любой проходящей через начало координат $O$ оси $O l$ с направляющими косинусами $\alpha, \beta, \gamma$ находится по формуле: \[ I_{O l}=I_{x} \alpha^{2}-I_{y} \beta^{2}-I_{z} \gamma^{2}-2 I_{x y} \alpha \beta-2 I_{y z} \beta \gamma-2 I_{z x} \gamma \alpha \] Зная шесть величин $I_{x}, I_{y}, I_{z}, I_{x y}, I_{y z}, I_{z x}$, можно последовательно, используя формулы (4) и (3), вычислить всю совокупность М. и. тела относительно любых осей. Эти шесть величин определяют так наз. тензор инерции тела. Через каждую точку тела можно провести три такие взаимно перпендикулярные оси, называемые главными осями инерции, для к-рых \[ I_{x y}=I_{y z}=I_{z x}=0 . \] Тогда, зная главные оси инерции и М. и. относительно этих осей, можно определить М. и. тела относительно любой оси.