МОНОДРОМИИ ТЕОРИИ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ

Задачи восстановления системы обыкновенных дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами: \[ \left.\begin{array}{c} \frac{d \Psi}{d \lambda}=A(\lambda) \Psi, \\ \lambda \in \mathbb{C}, \quad A(\lambda)=\sum_{v=1}^{n} \sum_{k=0}^{r_{v}} \frac{A_{v, k}}{\left(\lambda-a_{v}\right)^{k+1}}+\sum_{k=1}^{r_{\infty}} A_{\infty, k} \lambda^{k-1}, \end{array}\right\} \] по заданной группе монодромии (проблема Римана-Гильберта) (см. [1], [2]); здесь $A_{v, k}-(m \times m)$-постоянные по $\lambda$ матрицы $(m>1), a_{1}, \ldots, a_{n}, \infty$ суть $n+1$ различных фиксированных точек на римановой сфере $C P^{1}$. Группа монодромии задает преобразование фундаментального матричного решения $\Psi$ при обходе вокруг каждой особой точки $a_{v}$ : \[ \left(\lambda-a_{v}\right) \mapsto\left(\lambda-a_{v}\right) \exp (2 \pi i) \Rightarrow \Psi \mapsto \Psi M_{v} . \] Матрицы $M_{\mathrm{v}}$ называются матрицами монодромии. Последовательному обходу контуров, не проходящих через особые точки $a_{v}$, соответствует произведение матриц монодромии, зависящее только от гомотопич. класса пути обхода. Группа монодромии, составленная из таких произведений, является подгруппой $G L(m, C)$, действующей справа на пространстве фундаментальных решений системы (1). Для систем (1) фуксова типа $\left(A_{\infty, k}=0, r_{v}=0\right)$ М.т.о.з. составляет содержание 21-й проблемы Гильберта (см. [3]). Для таких систем эта задача решена для произвольной области $\Omega \subset C$, конформно эквивалентной кругу (см. [4]). В случае $C P^{1}$ решение задачи в классе фуксовых систем всегда существует при $n, m \leqslant 3$. При $n>3$ и любом $m \geqslant 3$ найдется группа монодромии, для к-рой не существует реализующей ее фуксовой системы (см. [5]). Вычисление коэффициентов $A_{v, k}$ в виде бесконечных рядов приведено в [6]. Группа монодромии систем с иррегулярной особой точкой $\left(r_{\infty} \geqslant 1\right)$ содержит дополнительные образующие, называемые матрицами Стокса и определяемые следующим образом. Пусть $A_{\infty}, r_{\infty}$ имеет не совпадающие между собой собственные числа $\mu_{\alpha}$. Покроем окрестность бесконечности конечным числом секторов $\Omega_{k}, k=1,2, \ldots, 2 r_{\infty}+1$, так что $\Omega_{k} \cap \Omega_{k+1} \neq \varnothing$ и каждый сектор содержит только один луч раздела, заданный условием $\operatorname{Re}\left[\left(\mu_{\alpha}-\mu_{\beta}\right) \lambda^{r_{\infty}}\right]=0$, $\alpha, \beta=1,2, \ldots, m$. В каждом секторе найдется голоморфное невырожденное решение $\Psi_{k}$ системы (1) с асимптотикой \[ \Psi_{k}(\lambda)=\left(I+O\left(\lambda^{-1}\right)\right) \exp \left(\sum_{j=1}^{r_{\infty}} D_{j} \lambda^{j}+D_{0} \log \lambda\right), \quad \lambda \rightarrow \infty, \] где $D_{j}=\operatorname{diag}\left(d_{1 j}, \ldots, d_{m j}\right), j=0, \ldots, r_{\infty}$. Матрицы Стокса $S_{k}$ связывают решения $\Psi_{k}$ в пересечении соседних секторов: \[ \Psi_{k+1}(\lambda)=\Psi_{k}(\lambda) S_{k}, k=1,2, \ldots, 2 r_{\infty} . \] Для систем с единственной особенностью иррегулярного типа на бесконечности М.т.о.з. разрешима в области $C P^{1} \backslash\{0\}$. Именно, при $|\lambda|>\lambda_{0}$ существует система (1) с матрицей $A$, имеющей вид: \[ A(\lambda)=\sum_{k=1}^{r_{\infty}} A_{\infty, k^{\lambda}} \lambda^{k-1}+\frac{A_{0}}{\lambda}, \] такая, что соответствующие матрицы Стокса и матрицы $D_{j}$ совпадают с заданными (см. [2]). Подобно случаю фуксовых систем, решение М.т.о.з. на всем $C P^{1}$ сводится к выделению условий на группу монодромии, при к-рых $A_{0}=0$ (см. [7]). Эти условия нетривиальны даже в случае $m=2$, $r_{\infty}=3$ и связаны с распределением полюсов решений нелинейных уравнений типа Пенлеве, описывающих изомонодромные деформации системы (1) (см. Изомонодромной деформации метод). Лит.: [1] Fuchs L., Gesammelte mathematische Werke, Bd 1-3, 1904; [2] Birkhoff G. D., «Proc. Amer. Acad. Arts and Sci.», 1913, v. 49, n. 9; [3] Проблемы Гильберта, М., 1969; [4] Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С., в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, М., 1986; [5] Болибрух А. А., Проблема Римана-Гильберта, «Успехи математич. наук», 1990, т. 45, в. 2, с. 3-47; [6] Еругин Н. П., Проблема Римана, Минск, 1976; [7] Итс А. Р., Новокшенов В. Ю., «Функциональный анализ и его прилож.», 1988, т. 22, в. 3, с. 25-36. В. Ю. Новокшенов.

Задачи восстановления системы обыкновенных дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами: \[ \left.\begin{array}{c} \frac{d \Psi}{d \lambda}=A(\lambda) \Psi, \\ \lambda \in \mathbb{C}, \quad A(\lambda)=\sum_{v=1}^{n} \sum_{k=0}^{r_{v}} \frac{A_{v, k}}{\left(\lambda-a_{v}\right)^{k+1}}+\sum_{k=1}^{r_{\infty}} A_{\infty, k} \lambda^{k-1}, \end{array}\right\} \] по заданной группе монодромии (проблема Римана-Гильберта) (см. [1], [2]); здесь $A_{v, k}-(m \times m)$-постоянные по $\lambda$ матрицы $(m>1), a_{1}, \ldots, a_{n}, \infty$ суть $n+1$ различных фиксированных точек на римановой сфере $C P^{1}$. Группа монодромии задает преобразование фундаментального матричного решения $\Psi$ при обходе вокруг каждой особой точки $a_{v}$ : \[ \left(\lambda-a_{v}\right) \mapsto\left(\lambda-a_{v}\right) \exp (2 \pi i) \Rightarrow \Psi \mapsto \Psi M_{v} . \] Матрицы $M_{\mathrm{v}}$ называются матрицами монодромии. Последовательному обходу контуров, не проходящих через особые точки $a_{v}$, соответствует произведение матриц монодромии, зависящее только от гомотопич. класса пути обхода. Группа монодромии, составленная из таких произведений, является подгруппой $G L(m, C)$, действующей справа на пространстве фундаментальных решений системы (1). Для систем (1) фуксова типа $\left(A_{\infty, k}=0, r_{v}=0\right)$ М.т.о.з. составляет содержание 21-й проблемы Гильберта (см. [3]). Для таких систем эта задача решена для произвольной области $\Omega \subset C$, конформно эквивалентной кругу (см. [4]). В случае $C P^{1}$ решение задачи в классе фуксовых систем всегда существует при $n, m \leqslant 3$. При $n>3$ и любом $m \geqslant 3$ найдется группа монодромии, для к-рой не существует реализующей ее фуксовой системы (см. [5]). Вычисление коэффициентов $A_{v, k}$ в виде бесконечных рядов приведено в [6]. Группа монодромии систем с иррегулярной особой точкой $\left(r_{\infty} \geqslant 1\right)$ содержит дополнительные образующие, называемые матрицами Стокса и определяемые следующим образом. Пусть $A_{\infty}, r_{\infty}$ имеет не совпадающие между собой собственные числа $\mu_{\alpha}$. Покроем окрестность бесконечности конечным числом секторов $\Omega_{k}, k=1,2, \ldots, 2 r_{\infty}+1$, так что $\Omega_{k} \cap \Omega_{k+1} \neq \varnothing$ и каждый сектор содержит только один луч раздела, заданный условием $\operatorname{Re}\left[\left(\mu_{\alpha}-\mu_{\beta}\right) \lambda^{r_{\infty}}\right]=0$, $\alpha, \beta=1,2, \ldots, m$. В каждом секторе найдется голоморфное невырожденное решение $\Psi_{k}$ системы (1) с асимптотикой \[ \Psi_{k}(\lambda)=\left(I+O\left(\lambda^{-1}\right)\right) \exp \left(\sum_{j=1}^{r_{\infty}} D_{j} \lambda^{j}+D_{0} \log \lambda\right), \quad \lambda \rightarrow \infty, \] где $D_{j}=\operatorname{diag}\left(d_{1 j}, \ldots, d_{m j}\right), j=0, \ldots, r_{\infty}$. Матрицы Стокса $S_{k}$ связывают решения $\Psi_{k}$ в пересечении соседних секторов: \[ \Psi_{k+1}(\lambda)=\Psi_{k}(\lambda) S_{k}, k=1,2, \ldots, 2 r_{\infty} . \] Для систем с единственной особенностью иррегулярного типа на бесконечности М.т.о.з. разрешима в области $C P^{1} \backslash\{0\}$. Именно, при $|\lambda|>\lambda_{0}$ существует система (1) с матрицей $A$, имеющей вид: \[ A(\lambda)=\sum_{k=1}^{r_{\infty}} A_{\infty, k^{\lambda}} \lambda^{k-1}+\frac{A_{0}}{\lambda}, \] такая, что соответствующие матрицы Стокса и матрицы $D_{j}$ совпадают с заданными (см. [2]). Подобно случаю фуксовых систем, решение М.т.о.з. на всем $C P^{1}$ сводится к выделению условий на группу монодромии, при к-рых $A_{0}=0$ (см. [7]). Эти условия нетривиальны даже в случае $m=2$, $r_{\infty}=3$ и связаны с распределением полюсов решений нелинейных уравнений типа Пенлеве, описывающих изомонодромные деформации системы (1) (см. Изомонодромной деформации метод). Лит.: [1] Fuchs L., Gesammelte mathematische Werke, Bd 1-3, 1904; [2] Birkhoff G. D., «Proc. Amer. Acad. Arts and Sci.», 1913, v. 49, n. 9; [3] Проблемы Гильберта, М., 1969; [4] Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С., в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, М., 1986; [5] Болибрух А. А., Проблема Римана-Гильберта, «Успехи математич. наук», 1990, т. 45, в. 2, с. 3-47; [6] Еругин Н. П., Проблема Римана, Минск, 1976; [7] Итс А. Р., Новокшенов В. Ю., «Функциональный анализ и его прилож.», 1988, т. 22, в. 3, с. 25-36. В. Ю. Новокшенов.