МОРЕРЫ ТЕОРЕМА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

если (однозначная) функция $f(z)$ комплексного переменного $z$ в области $D$ непрерывна и интеграл от нее по любому замкнутому спрямляемому контуру $\Gamma \subset D$ равен нулю, то есть \[ \int_{\Gamma} f(z) d z=0, \quad \Gamma \subset D \] то $f(z)$ - аналитическая функция в $D$. Эта теорема была получена Дж. Морерой (G. Morera, 1886). Условие сформулированной М.т. можно ослабить, ограничившись требованием, чтобы обращались в нуль интегралы (*), взятые по границе $\Gamma=\partial \Delta$ любого треугольника $\Delta$, компактно принадлежащего области $D$, то есть такого, что $\Delta \subset \bar{\Delta} \subset D$. М.т. представляет собой (неполное) обращение Коши теоремы и является одной из основных теорем теории аналитич. функций. М. т. обобщается на случай функций многих комплексных переменных. Пусть функция $f(z)=f\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)$ комплексных переменных $z_{1}, \ldots, z_{n}, n \geqslant 1$, непрерывна в области $D$ комплексного пространства $\mathbb{C}^{n}$ и такова, что обращается в нуль интеграл от нее, взятый по границе $\partial T_{v}$ любой компактно принадлежащей $D$ призматич. области вида: \[ \begin{gathered} T_{v}=\left[a_{1}, z_{1}\right] \times \ldots \times\left[a_{v-1}, z_{v-1}\right] \times \Delta_{v} \times\left[a_{v+1}, z_{v+1}\right] \times \ldots \times\left[a_{n}, z_{n}\right], \\ v=1,2, \ldots, n, \end{gathered} \] где $\left[a_{\mu}, z_{\mu}\right], \mu \neq v, \mu=1, \ldots, n,-$ прямолинейные отрезки в плоскостях $\mathbb{C}\left(z_{\mu}\right)$ с концами $a_{\mu}$ и $z_{\mu}$, а $\Delta_{v}-$ треугольник в плоскости $\mathbb{C}\left(z_{v}\right)$. Тогда $f(z)$ - голоморфная функция в $D$.

если (однозначная) функция $f(z)$ комплексного переменного $z$ в области $D$ непрерывна и интеграл от нее по любому замкнутому спрямляемому контуру $\Gamma \subset D$ равен нулю, то есть \[ \int_{\Gamma} f(z) d z=0, \quad \Gamma \subset D \] то $f(z)$ - аналитическая функция в $D$. Эта теорема была получена Дж. Морерой (G. Morera, 1886). Условие сформулированной М.т. можно ослабить, ограничившись требованием, чтобы обращались в нуль интегралы (*), взятые по границе $\Gamma=\partial \Delta$ любого треугольника $\Delta$, компактно принадлежащего области $D$, то есть такого, что $\Delta \subset \bar{\Delta} \subset D$. М.т. представляет собой (неполное) обращение Коши теоремы и является одной из основных теорем теории аналитич. функций. М. т. обобщается на случай функций многих комплексных переменных. Пусть функция $f(z)=f\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)$ комплексных переменных $z_{1}, \ldots, z_{n}, n \geqslant 1$, непрерывна в области $D$ комплексного пространства $\mathbb{C}^{n}$ и такова, что обращается в нуль интеграл от нее, взятый по границе $\partial T_{v}$ любой компактно принадлежащей $D$ призматич. области вида: \[ \begin{gathered} T_{v}=\left[a_{1}, z_{1}\right] \times \ldots \times\left[a_{v-1}, z_{v-1}\right] \times \Delta_{v} \times\left[a_{v+1}, z_{v+1}\right] \times \ldots \times\left[a_{n}, z_{n}\right], \\ v=1,2, \ldots, n, \end{gathered} \] где $\left[a_{\mu}, z_{\mu}\right], \mu \neq v, \mu=1, \ldots, n,-$ прямолинейные отрезки в плоскостях $\mathbb{C}\left(z_{\mu}\right)$ с концами $a_{\mu}$ и $z_{\mu}$, а $\Delta_{v}-$ треугольник в плоскости $\mathbb{C}\left(z_{v}\right)$. Тогда $f(z)$ - голоморфная функция в $D$.