МУЛЬТИПОЛЬНОГО МОМЕНТА ТЕНЗОР

полностью симметричный обращающийся в нуль при свертывании по любой паре индексов тензор $D_{i_{1}}, i_{2}, \ldots, i_{l}$, входящий в члены разложения потенциала системы зарядов на больших расстояниях. Потенциал \[ \varphi\left(R_{0}\right)=\sum_{j} e_{j} /\left|R_{0}-r_{j}\right| \] системы статич. зарядов $e_{j}$, расположенных в точках $r_{j}$ на больших расстояниях $\left|R_{0}\right|$ от начала координат - какой-либо внутренней точки системы, - может быть представлен рядом Тейлора $\varphi=\sum_{l \geqslant 0} \frac{1}{l !} \sum_{i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{l}=1} \sum_{j} e_{j} x_{j}^{i_{1}} x_{j}^{i_{2}} \ldots x_{j}^{i_{l}} \frac{\partial^{l}}{\partial X^{i_{\partial}} \partial X^{i_{1}} \ldots \partial X^{i_{l}}} \frac{1}{\left|R_{0}\right|},\left(^{*}\right)$ где $x_{j}^{i}$ и $X^{i}, i=1,2,3,-$ координаты векторов $r_{j}$ и $R_{0}$. Поскольку $1 /\left|R_{0}\right|$ удовлетворяет уравнению Лапласа и любые производные от $\Delta\left(1 /\left|R_{0}\right|\right)$ обращаются в нуль, в разложении $\left({ }^{*}\right)$ контравариантные тензоры \[ \sum_{j} e_{j} x_{j}^{i_{1}} x_{j}^{i_{2}} \ldots x_{j}^{i_{l}} \] можно заменить тензорами мультипольных моментов $D_{i_{1}}, i_{2}, \ldots, i_{i}$. Напр., \[ D_{i_{1}, i_{2}}=\sum_{j} e_{j}\left(3 x_{j}^{i_{1}} x_{j}^{i_{2}}-\left|r_{j}\right|^{2} \delta_{i_{1}, i_{2}}\right) \] - тензор квадрупольного момента, $D_{i_{1}, i_{2}, i_{3}}=\sum_{j} e_{j}\left[5 x_{j}^{i_{1}} x_{j}^{i_{2}} x_{j}^{i_{3}}-\left|r_{j}\right|^{2}\left(\delta_{i_{1}, i_{2}} x_{j}^{i_{3}}+\delta_{i_{1}, i_{3}} x_{j}^{i_{2}}+\delta_{i_{2}, i_{3}} x_{j}^{i_{1}}\right)\right]$ - тензор октупольного момента. Тензор мультипольного момента ранга $l$ содержит всего $2 l-1$ независимых компонент, к-рые выражаются через объемные сферич. функции. В. С. Булдырев.

полностью симметричный обращающийся в нуль при свертывании по любой паре индексов тензор $D_{i_{1}}, i_{2}, \ldots, i_{l}$, входящий в члены разложения потенциала системы зарядов на больших расстояниях. Потенциал \[ \varphi\left(R_{0}\right)=\sum_{j} e_{j} /\left|R_{0}-r_{j}\right| \] системы статич. зарядов $e_{j}$, расположенных в точках $r_{j}$ на больших расстояниях $\left|R_{0}\right|$ от начала координат - какой-либо внутренней точки системы, - может быть представлен рядом Тейлора $\varphi=\sum_{l \geqslant 0} \frac{1}{l !} \sum_{i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{l}=1} \sum_{j} e_{j} x_{j}^{i_{1}} x_{j}^{i_{2}} \ldots x_{j}^{i_{l}} \frac{\partial^{l}}{\partial X^{i_{\partial}} \partial X^{i_{1}} \ldots \partial X^{i_{l}}} \frac{1}{\left|R_{0}\right|},\left(^{*}\right)$ где $x_{j}^{i}$ и $X^{i}, i=1,2,3,-$ координаты векторов $r_{j}$ и $R_{0}$. Поскольку $1 /\left|R_{0}\right|$ удовлетворяет уравнению Лапласа и любые производные от $\Delta\left(1 /\left|R_{0}\right|\right)$ обращаются в нуль, в разложении $\left({ }^{*}\right)$ контравариантные тензоры \[ \sum_{j} e_{j} x_{j}^{i_{1}} x_{j}^{i_{2}} \ldots x_{j}^{i_{l}} \] можно заменить тензорами мультипольных моментов $D_{i_{1}}, i_{2}, \ldots, i_{i}$. Напр., \[ D_{i_{1}, i_{2}}=\sum_{j} e_{j}\left(3 x_{j}^{i_{1}} x_{j}^{i_{2}}-\left|r_{j}\right|^{2} \delta_{i_{1}, i_{2}}\right) \] - тензор квадрупольного момента, $D_{i_{1}, i_{2}, i_{3}}=\sum_{j} e_{j}\left[5 x_{j}^{i_{1}} x_{j}^{i_{2}} x_{j}^{i_{3}}-\left|r_{j}\right|^{2}\left(\delta_{i_{1}, i_{2}} x_{j}^{i_{3}}+\delta_{i_{1}, i_{3}} x_{j}^{i_{2}}+\delta_{i_{2}, i_{3}} x_{j}^{i_{1}}\right)\right]$ - тензор октупольного момента. Тензор мультипольного момента ранга $l$ содержит всего $2 l-1$ независимых компонент, к-рые выражаются через объемные сферич. функции. В. С. Булдырев.