МУЛЬТИПОЛЯ ПОТЕНЦИАЛ

гармоническая функция в области $\mathbb{R}^{n} \backslash\{0\}$ пространства $\mathbb{R}^{n}, n \geqslant 2$, являющаяся частной производной какого-либо порядка $|m| \geqslant 1$ от главного фундаментального решения уравнения Лапласа, то есть функция вида \[ \frac{\partial^{|m|}}{\partial x_{1}^{m_{1}} \ldots \partial x_{n}^{m_{n}}} \frac{1}{r^{n-2}} \text { при } n \geqslant 3 \] \[ \begin{gathered} \frac{\partial^{|m|}}{\partial x_{1}^{m_{1}} \partial x_{2}^{m}} \ln \frac{1}{r} \text { при } n=2, \\ r=\sqrt{x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}}, \quad|m|=m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n} . \end{gathered} \] Пусть для краткости $n=3$; при $|m|=1$ потенциалы диполей имеют вид: \[ -\frac{x_{1}}{r^{3}}=-\frac{\cos \alpha}{r^{2}}, \quad-\frac{x_{2}}{r^{3}}=-\frac{\cos \beta}{r^{2}}, \quad-\frac{x_{3}}{r^{3}}=-\frac{\cos \gamma}{r^{2}}, \] где $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ - направляющие косинусы радиус-вектора точки наблюдения $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$. Функция $-x_{1} / r^{3}$, напр., истолковывается как потенциал диполя с моментом 1 и осью $O x_{1}$, то есть как предел при $a \rightarrow 0+$ суммы ньютоновых потенциалов массы $-1 / 2 a$, помещенной в точке $(a, 0,0)$, и массы $1 / 2 a$, помещенной в точке $(-a, 0,0)$; иначе эту функцию можно представить себе как магнитный потенциал маленького магнита, расположенного вдоль оси $O x_{1}$ в начале координат. Аналогично, функции $-x_{2} / r^{3}$ и $-x_{3} / r^{3}$ суть потенциалы диполей с осями соответственно $O x_{2}$ и $O x_{3}$. Составляя линейные комбинации этих функций, можно получить потенциал произвольно ориентированного диполя с любым моментом $\mu$. При $|m|=2$ имеют место квадруполей потенциалы, получаемые предельным переходом для определенных систем четырех точечных масс, сумма к-рых всегда равна нулю, и т. д. Е. Д. Соломенцев.

гармоническая функция в области $\mathbb{R}^{n} \backslash\{0\}$ пространства $\mathbb{R}^{n}, n \geqslant 2$, являющаяся частной производной какого-либо порядка $|m| \geqslant 1$ от главного фундаментального решения уравнения Лапласа, то есть функция вида \[ \frac{\partial^{|m|}}{\partial x_{1}^{m_{1}} \ldots \partial x_{n}^{m_{n}}} \frac{1}{r^{n-2}} \text { при } n \geqslant 3 \] \[ \begin{gathered} \frac{\partial^{|m|}}{\partial x_{1}^{m_{1}} \partial x_{2}^{m}} \ln \frac{1}{r} \text { при } n=2, \\ r=\sqrt{x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}}, \quad|m|=m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n} . \end{gathered} \] Пусть для краткости $n=3$; при $|m|=1$ потенциалы диполей имеют вид: \[ -\frac{x_{1}}{r^{3}}=-\frac{\cos \alpha}{r^{2}}, \quad-\frac{x_{2}}{r^{3}}=-\frac{\cos \beta}{r^{2}}, \quad-\frac{x_{3}}{r^{3}}=-\frac{\cos \gamma}{r^{2}}, \] где $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ - направляющие косинусы радиус-вектора точки наблюдения $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$. Функция $-x_{1} / r^{3}$, напр., истолковывается как потенциал диполя с моментом 1 и осью $O x_{1}$, то есть как предел при $a \rightarrow 0+$ суммы ньютоновых потенциалов массы $-1 / 2 a$, помещенной в точке $(a, 0,0)$, и массы $1 / 2 a$, помещенной в точке $(-a, 0,0)$; иначе эту функцию можно представить себе как магнитный потенциал маленького магнита, расположенного вдоль оси $O x_{1}$ в начале координат. Аналогично, функции $-x_{2} / r^{3}$ и $-x_{3} / r^{3}$ суть потенциалы диполей с осями соответственно $O x_{2}$ и $O x_{3}$. Составляя линейные комбинации этих функций, можно получить потенциал произвольно ориентированного диполя с любым моментом $\mu$. При $|m|=2$ имеют место квадруполей потенциалы, получаемые предельным переходом для определенных систем четырех точечных масс, сумма к-рых всегда равна нулю, и т. д. Е. Д. Соломенцев.