НАБЛЮДАЕМЫХ АЛГЕБРА

Множество наблюдаемых физической системы, наделенное структурой алгебры над полем комплексных чисел. Наблюдаемой называют любую физич. величину, значения к-рой можно найти экспериментально. Так как всякий эксперимент осуществляется в ограниченной области пространства и в течение конечного промежутка времени, то каждая наблюдаемая локализована в нек-рой ограниченной области $O$ пространства-времени $M$, то есть ее значения можно измерить посредством экспериментов в $\boldsymbol{O}$. Две наблюдаемые одной системы называются совместимыми (несовместимыми) между собой, если они допускают (не допускают) одновременное и независимое измерение. В классич. системах все наблюдаемые совместимы. Для релятивистских квантовых систем, в силу принципа причинности, любые две наблюдаемые совместимы, если они относятся к областям из $M$, разделенным пространственноподобным интервалом. Наблюдаемая, локализованная в ограниченной области $M$ и подчиненная принципу причинности, называется локальной наблюдаемой. Таким образом, для релятивистских квантовых систем все наблюдаемые локальны; однако на практике удобно причислять к наблюдаемым также глобальные, суммарные характеристики системы, типа полного заряда, полной энергии-импульса и т. п., получаемые из локальных наблюдаемых при помощи каких-либо предельных операций. В этом смысле говорят о квазилокальных и глобальных наблюдаемых. Наблюдаемые можно представлять с помощью различных математич. объектов. Для квантовой теории, где состояния системы обычно представляют векторами гильбертова пространства $H$, стандартным является представление наблюдаемых операторами в гильбертовом пространстве, причем операторы, отвечающие совместимым наблюдаемым, коммутируют между собой. Операторы должны быть эрмитовыми, ибо измеряемые значения наблюдаемых вещественны, операторы могут быть ограниченными и неограниченными (в частности, наблюдаемым координат и импульсов, удовлетворяющим канонич. перестановочным соотношениям, всегда отвечают неограниченные операторы). Однако так как операторы наблюдаемых эрмитовы, неограниченным операторам можно сопоставить ограниченные спектральные проекции неограниченных. В этом случае множеству всех наблюдаемых квантовой системы отвечает множество $A$ эрмитовых (ограниченных) операторов в $H$. Добавляя к $A$ все произведения его элементов, получаем алгебру $R$, к-рая называется алгеброй наблюдаемых квантовой системы (хотя не все ее операторы отвечают наблюдаемым). Иногда вместо указанного добавления вводят новую операцию перемножения операторов: $B \cdot A=(A B+B A) / 2$; по отношению к этой операции $A-$ коммутативная алгебра, принадлежащая классу йордановых алгебр. В квантовой механике алгебра $R$ обычно совпадает с алгеброй $B(H)$ всех ограниченных операторов в $H$. Ясно, что с помощью Н.а. можно описывать любые физич. системы, классические и квантовые, релятивистские и нерелятивистские. Наиболее плодотворным такой способ описания оказывается в квантовой теории, где успешно развивается алгебраич. подход в квантовой статистич. механике и алгебраич. подход в квантовой теории поля. В последнем случае, чтобы учесть принцип причинности, нужно рассматривать множества наблюдаемых для каждой ограниченной (ибо наблюдаемые локализованы в ограниченных областях) области $O$ из $M$. Описание релятивистской квантовой системы с помощью таких множеств существует в двух вариантах: конкретный подход, где $A(O)-$ множество эрмитовых элементов алгебры Неймана $R(O)$; абстрактный подход, где $A(O)-$ множество эрмитовых элементов абстрактной $C^{*}$-алгебры $\mathfrak{H}(O)$. Алгебры $R(O)$ и $\mathfrak{\mathscr { N }}(O)$ называются алгебрами локальных наблюдаемых области $O$; их совокупность для всех ограниченных областей $O$ подчиняется нек-рой системе аксиом. Объединению локальных алгебр по всем $O$ можно придать структуру $C^{*}$-алгебры; эта алгебра называется квазилокальной, а ее элементы - квазилокальными наблюдаемыми. Объединению алгебр $R(O)$ по всем $O$ можно придать также структуру алгебры Неймана; эта алгебра включает в себя квазилокальную и называется глобальной, а ее элементы - глобальными наблюдаемыми. Состояния системы при этом обычно рассматривают как нормированные положительные функционалы на квазилокальной алгебре; представление состояния вектором в гильбертовом пространстве является частным случаем такой трактовки. Аналогично строится и алгебраич. подход в квантовой статистич. механике. Место множеств $A(O)$ здесь занимают множества $A(V)$ наблюдаемых, отвечающих конечным областям пространства или, в решеточных системах, конечным подмножествам ячеек решетки. Аналогом фундаментального принципа локальности (причинности) в релятивистской теории здесь служит требование взаимной совместимости любых наблюдаемых, отвечающих непересекающимся областям.

Множество наблюдаемых физической системы, наделенное структурой алгебры над полем комплексных чисел. Наблюдаемой называют любую физич. величину, значения к-рой можно найти экспериментально. Так как всякий эксперимент осуществляется в ограниченной области пространства и в течение конечного промежутка времени, то каждая наблюдаемая локализована в нек-рой ограниченной области $O$ пространства-времени $M$, то есть ее значения можно измерить посредством экспериментов в $\boldsymbol{O}$. Две наблюдаемые одной системы называются совместимыми (несовместимыми) между собой, если они допускают (не допускают) одновременное и независимое измерение. В классич. системах все наблюдаемые совместимы. Для релятивистских квантовых систем, в силу принципа причинности, любые две наблюдаемые совместимы, если они относятся к областям из $M$, разделенным пространственноподобным интервалом. Наблюдаемая, локализованная в ограниченной области $M$ и подчиненная принципу причинности, называется локальной наблюдаемой. Таким образом, для релятивистских квантовых систем все наблюдаемые локальны; однако на практике удобно причислять к наблюдаемым также глобальные, суммарные характеристики системы, типа полного заряда, полной энергии-импульса и т. п., получаемые из локальных наблюдаемых при помощи каких-либо предельных операций. В этом смысле говорят о квазилокальных и глобальных наблюдаемых. Наблюдаемые можно представлять с помощью различных математич. объектов. Для квантовой теории, где состояния системы обычно представляют векторами гильбертова пространства $H$, стандартным является представление наблюдаемых операторами в гильбертовом пространстве, причем операторы, отвечающие совместимым наблюдаемым, коммутируют между собой. Операторы должны быть эрмитовыми, ибо измеряемые значения наблюдаемых вещественны, операторы могут быть ограниченными и неограниченными (в частности, наблюдаемым координат и импульсов, удовлетворяющим канонич. перестановочным соотношениям, всегда отвечают неограниченные операторы). Однако так как операторы наблюдаемых эрмитовы, неограниченным операторам можно сопоставить ограниченные спектральные проекции неограниченных. В этом случае множеству всех наблюдаемых квантовой системы отвечает множество $A$ эрмитовых (ограниченных) операторов в $H$. Добавляя к $A$ все произведения его элементов, получаем алгебру $R$, к-рая называется алгеброй наблюдаемых квантовой системы (хотя не все ее операторы отвечают наблюдаемым). Иногда вместо указанного добавления вводят новую операцию перемножения операторов: $B \cdot A=(A B+B A) / 2$; по отношению к этой операции $A-$ коммутативная алгебра, принадлежащая классу йордановых алгебр. В квантовой механике алгебра $R$ обычно совпадает с алгеброй $B(H)$ всех ограниченных операторов в $H$. Ясно, что с помощью Н.а. можно описывать любые физич. системы, классические и квантовые, релятивистские и нерелятивистские. Наиболее плодотворным такой способ описания оказывается в квантовой теории, где успешно развивается алгебраич. подход в квантовой статистич. механике и алгебраич. подход в квантовой теории поля. В последнем случае, чтобы учесть принцип причинности, нужно рассматривать множества наблюдаемых для каждой ограниченной (ибо наблюдаемые локализованы в ограниченных областях) области $O$ из $M$. Описание релятивистской квантовой системы с помощью таких множеств существует в двух вариантах: конкретный подход, где $A(O)-$ множество эрмитовых элементов алгебры Неймана $R(O)$; абстрактный подход, где $A(O)-$ множество эрмитовых элементов абстрактной $C^{*}$-алгебры $\mathfrak{H}(O)$. Алгебры $R(O)$ и $\mathfrak{\mathscr { N }}(O)$ называются алгебрами локальных наблюдаемых области $O$; их совокупность для всех ограниченных областей $O$ подчиняется нек-рой системе аксиом. Объединению локальных алгебр по всем $O$ можно придать структуру $C^{*}$-алгебры; эта алгебра называется квазилокальной, а ее элементы - квазилокальными наблюдаемыми. Объединению алгебр $R(O)$ по всем $O$ можно придать также структуру алгебры Неймана; эта алгебра включает в себя квазилокальную и называется глобальной, а ее элементы - глобальными наблюдаемыми. Состояния системы при этом обычно рассматривают как нормированные положительные функционалы на квазилокальной алгебре; представление состояния вектором в гильбертовом пространстве является частным случаем такой трактовки. Аналогично строится и алгебраич. подход в квантовой статистич. механике. Место множеств $A(O)$ здесь занимают множества $A(V)$ наблюдаемых, отвечающих конечным областям пространства или, в решеточных системах, конечным подмножествам ячеек решетки. Аналогом фундаментального принципа локальности (причинности) в релятивистской теории здесь служит требование взаимной совместимости любых наблюдаемых, отвечающих непересекающимся областям.