НАТУРАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР НА КРИВОЙ $(t)$ В РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ $\left(M^{n}, g_{i j}\right)$

длина $s(t)$ кривой $x(t)$, отсчитываемая от фиксированной точки $p_{0}=x(a)$ до текущей точки $p=x(t)$, то есть в пределах одной карты \[ s(t)=\int_{a}^{t} \sqrt{g_{i j} \frac{\partial x^{i}}{\partial t} \frac{\partial x^{j}}{\partial t}} d t \] где $\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right)$ - локальная система координат в рассматриваемой карте многообразия $M^{n}$. Любые два натуральных параметра $s, s^{\prime}$ отличаются друг от друга на нек-рое ортогональное преобразование прямой, то есть $s^{\prime}= \pm s+$ const, так как можно изменить направление вдоль кривой на противоположное и сдвинуть начальную точку отсчета.

длина $s(t)$ кривой $x(t)$, отсчитываемая от фиксированной точки $p_{0}=x(a)$ до текущей точки $p=x(t)$, то есть в пределах одной карты \[ s(t)=\int_{a}^{t} \sqrt{g_{i j} \frac{\partial x^{i}}{\partial t} \frac{\partial x^{j}}{\partial t}} d t \] где $\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right)$ - локальная система координат в рассматриваемой карте многообразия $M^{n}$. Любые два натуральных параметра $s, s^{\prime}$ отличаются друг от друга на нек-рое ортогональное преобразование прямой, то есть $s^{\prime}= \pm s+$ const, так как можно изменить направление вдоль кривой на противоположное и сдвинуть начальную точку отсчета.