НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ СООТНОШЕНИЕ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

положение, согласно которому нельзя приготовить состояние системы, в котором координаты и импульсы частиц имели бы одновременно сколь угодно малые дисперсии. Предложено В. Гейзенбергом [1]. Пусть $x_{i}-$ координаты частицы, $p_{i}-$ соответствующие компоненты импульса. Пусть $\Delta x_{i}$ и $\Delta p_{i}$ - дисперсии координат и импульсов в рассматриваемом состоянии. Тогда, по Гейзенбергу, \[ \Delta x_{i} \Delta p_{i} \approx h . \] Соотношения (1) показывают, что в состояниях, в к-рых дисперсия координаты мала, дисперсия импульса велика, и наоборот. В предельном случае, когда $\Delta x_{i}=0$, импульс частицы полностью неопределен. Отсюда следует, что в квантовой механике невозможно ввести понятие «траектория движения». С современной точки зрения соотношения (1) требуют уточнения и могут быть существенно обобщены. Пусть $\hat{A}_{1}$, $\hat{A}_{2}$ - два самосопряженных оператора, отвечающих физич. величинам $A_{1}, A_{2}$. Пусть операторы $\hat{A}_{1}, \hat{A}_{2}$ имеют общую инвариантную область определения, и пусть $i \hat{B}=\left[\hat{A}_{1}, \hat{A}_{2}\right]$. Далее, пусть система находится в состоянии с матрицей плотности $\hat{\rho}$. Тогда дисперсия \[ \Delta A_{i} \equiv \sqrt{\operatorname{Sp}\left(\hat{\rho} \hat{A}_{i}^{2}\right)-\left(\operatorname{Sp} \hat{\rho} \hat{A}_{i}\right)^{2}}, \quad i=1,2, \] и средние значения $\bar{B}=\operatorname{Sp} \hat{\rho} \hat{B}$ подчинены неравенству \[ \Delta A_{1} \Delta A_{2} \geqslant \frac{1}{2}|\bar{B}| \text {. } \] Это неравенство является наиболее общей версией Н.с. Оно может быть получено из неравенства \[ \operatorname{Sp} \hat{\rho}\left(\lambda \hat{A}_{1}+i \hat{A}_{2}\right)\left(\lambda \hat{A}_{1}-i \hat{A}_{2}\right) \geqslant 0, \] к-рое имеет место для всех $\lambda \in \mathbb{R}$. В частности, при $\hat{A}_{1}=\hat{x}_{i}$, $\hat{A}_{2}=\hat{p}_{i}, \hat{B}=h$ и \[ \Delta x_{i} \Delta p_{i} \geqslant \frac{1}{2} \hbar, \] что согласуется с (1). Условие существования общей инвариантной области определения операторов $\hat{A}_{1}, \hat{A}_{2}$ весьма существенно. В качестве примера может быть рассмотрена задача движения частицы в одномерном прямоугольном ящике. Пусть $0 \leqslant x \leqslant L$, на волновую функцию наложены периодич. граничные условия $\psi(0)=\psi(L)$. В этом случае оператор импульса имеет чисто дискретный спектр и, следовательно, существуют состояния, в к-рых $\Delta p=0$, что делает невозможным выполнение соотношений (2). Данное обстоятельство связано с тем, что множество периодич. функций не инвариантно относительно действия оператора $\hat{x}$. Таким образом, Н. с. (2) может, вообще говоря, нарушаться. Часто рассматривают также Н.с. «энергия - время», предложенное Н. Бором в [2]: \[ \Delta E \Delta t \approx h . \] Смысл этого соотношения существенно иной, нежели смысл соотношений (1), (2). В (3) $\Delta E$ означает неопределенность в определении энергии системы, возникающая в процессе измерения за время $\Delta t$. Другая трактовка соотношений (3) возникает при рассмотрении нестационарных систем. В этом случае под $\Delta E$ следует понимать дисперсию системы в данном нестационарном состоянии, а $\Delta t$ - характерное время, за к-рое существенно меняются средние значения физич. величин в данной системе. Приведенные выше формулировки Н. с. «энергия - время» нельзя рассматривать как математически строгие утверждения. Тем не менее соотношения (3) часто играют важную роль при изучении нестационарных квантовых систем. Напр., из (3) немедленно следует соотношение между шириной уровня и временем жизни возбужденного состояния атома или ядра. Лит.: [1] Heisenberg W., «Z. für Phys.», 1927, Bd 43, S. 172; [2] Bohr N., «Nature, suppl.», 1928, v. 121, p. 580 (рус. пер.: Бор Н., Избранные научные труды, т. 2, с. 30, М., 1971). Ф. А. Лунев.

положение, согласно которому нельзя приготовить состояние системы, в котором координаты и импульсы частиц имели бы одновременно сколь угодно малые дисперсии. Предложено В. Гейзенбергом [1]. Пусть $x_{i}-$ координаты частицы, $p_{i}-$ соответствующие компоненты импульса. Пусть $\Delta x_{i}$ и $\Delta p_{i}$ - дисперсии координат и импульсов в рассматриваемом состоянии. Тогда, по Гейзенбергу, \[ \Delta x_{i} \Delta p_{i} \approx h . \] Соотношения (1) показывают, что в состояниях, в к-рых дисперсия координаты мала, дисперсия импульса велика, и наоборот. В предельном случае, когда $\Delta x_{i}=0$, импульс частицы полностью неопределен. Отсюда следует, что в квантовой механике невозможно ввести понятие «траектория движения». С современной точки зрения соотношения (1) требуют уточнения и могут быть существенно обобщены. Пусть $\hat{A}_{1}$, $\hat{A}_{2}$ - два самосопряженных оператора, отвечающих физич. величинам $A_{1}, A_{2}$. Пусть операторы $\hat{A}_{1}, \hat{A}_{2}$ имеют общую инвариантную область определения, и пусть $i \hat{B}=\left[\hat{A}_{1}, \hat{A}_{2}\right]$. Далее, пусть система находится в состоянии с матрицей плотности $\hat{\rho}$. Тогда дисперсия \[ \Delta A_{i} \equiv \sqrt{\operatorname{Sp}\left(\hat{\rho} \hat{A}_{i}^{2}\right)-\left(\operatorname{Sp} \hat{\rho} \hat{A}_{i}\right)^{2}}, \quad i=1,2, \] и средние значения $\bar{B}=\operatorname{Sp} \hat{\rho} \hat{B}$ подчинены неравенству \[ \Delta A_{1} \Delta A_{2} \geqslant \frac{1}{2}|\bar{B}| \text {. } \] Это неравенство является наиболее общей версией Н.с. Оно может быть получено из неравенства \[ \operatorname{Sp} \hat{\rho}\left(\lambda \hat{A}_{1}+i \hat{A}_{2}\right)\left(\lambda \hat{A}_{1}-i \hat{A}_{2}\right) \geqslant 0, \] к-рое имеет место для всех $\lambda \in \mathbb{R}$. В частности, при $\hat{A}_{1}=\hat{x}_{i}$, $\hat{A}_{2}=\hat{p}_{i}, \hat{B}=h$ и \[ \Delta x_{i} \Delta p_{i} \geqslant \frac{1}{2} \hbar, \] что согласуется с (1). Условие существования общей инвариантной области определения операторов $\hat{A}_{1}, \hat{A}_{2}$ весьма существенно. В качестве примера может быть рассмотрена задача движения частицы в одномерном прямоугольном ящике. Пусть $0 \leqslant x \leqslant L$, на волновую функцию наложены периодич. граничные условия $\psi(0)=\psi(L)$. В этом случае оператор импульса имеет чисто дискретный спектр и, следовательно, существуют состояния, в к-рых $\Delta p=0$, что делает невозможным выполнение соотношений (2). Данное обстоятельство связано с тем, что множество периодич. функций не инвариантно относительно действия оператора $\hat{x}$. Таким образом, Н. с. (2) может, вообще говоря, нарушаться. Часто рассматривают также Н.с. «энергия - время», предложенное Н. Бором в [2]: \[ \Delta E \Delta t \approx h . \] Смысл этого соотношения существенно иной, нежели смысл соотношений (1), (2). В (3) $\Delta E$ означает неопределенность в определении энергии системы, возникающая в процессе измерения за время $\Delta t$. Другая трактовка соотношений (3) возникает при рассмотрении нестационарных систем. В этом случае под $\Delta E$ следует понимать дисперсию системы в данном нестационарном состоянии, а $\Delta t$ - характерное время, за к-рое существенно меняются средние значения физич. величин в данной системе. Приведенные выше формулировки Н. с. «энергия - время» нельзя рассматривать как математически строгие утверждения. Тем не менее соотношения (3) часто играют важную роль при изучении нестационарных квантовых систем. Напр., из (3) немедленно следует соотношение между шириной уровня и временем жизни возбужденного состояния атома или ядра. Лит.: [1] Heisenberg W., «Z. für Phys.», 1927, Bd 43, S. 172; [2] Bohr N., «Nature, suppl.», 1928, v. 121, p. 580 (рус. пер.: Бор Н., Избранные научные труды, т. 2, с. 30, М., 1971). Ф. А. Лунев.