НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ

потенциал с ньютоновым ядром \[ 1 /|x-y|^{n-2} \] где $|x-y|-$ расстояние между точками $x$ и $y$ евклидова пространства $\mathbb{R}^{n}, n \geqslant 3$, то есть интеграл вида \[ u(x)=\int \frac{d \mu(y)}{|x-y|^{n-2}}, \] где интегрирование производится по некоторой мере Радона $\mu$ на $\mathbb{R}^{n}$ с компактным носителем $S$. В случае неотрицательной меры $\mu$ Н. П. (1) есть супергармонич. функция во всем пространстве $\mathbb{R}^{n}$ (см. Субгармоническая функция). Вне носителя $S$ меры $\mu$ Н. П. (1) имеет производные всех порядков по координатам точки $x$ и является регулярным решением Лапласа уравнения \[ \Delta u(x)=0 \] то есть $u(x)$ - гармоническая функция на открытом множестве $C S$, регулярная и на бесконечности, $u(\infty)=0$. В случае абсолютно непрерывной меры $\mu$ Н. п. $u(x)$ имеет вид: \[ u(x)=\int_{D} \frac{1}{|x-y|^{n-2}} f(y) d \omega(y), \] где $d \omega$ - элемент объема в $\mathbb{R}^{n}, D-$ нек-рая конечная область. Если при этом плотность $f(y)$ непрерывна по Гельдеру в замкнутой области $D$ и граница $\partial D$ состоит из конечного числа замкнутых гиперповерхностей Ляпунова, то $u(x)$ имеет непрерывные производные 2-го порядка внутри $D$ и удовлетворяет Пуассона уравнению \[ \Delta u(x)=-(n-2) 2 \pi^{n / 2} f(x) / \Gamma(n / 2) . \] В работах И. Ньютона (I. Newton) понятие «потенциала» еще не встречается. Впервые существование силовой функции ньютоновых сил тяготения доказал Ж. Лагранж (J. Lagrange, 1773). Термины «потенциальная функция» и «Потенциал», применительно к интегралам вида (2) при $n=3$, впервые встречаются соответственно у Дж. Грина (G. Green, 1828) и у К. Гаусса (C. Gauss, 1840). Термин «Н. п.» иногда употребляется в узком смысле применительно только к объемным потенциалам вида (2), а иногда - применительно только к физически реальному случаю (2) потенциала сил тяготения при $n=3$, создаваемого массами, распределенными в области $D$ с плотностью $f(y)$. Лит.: [1] Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953; [2] Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала, М.-Л., 1946. Е. Д. Соломенцев.

потенциал с ньютоновым ядром \[ 1 /|x-y|^{n-2} \] где $|x-y|-$ расстояние между точками $x$ и $y$ евклидова пространства $\mathbb{R}^{n}, n \geqslant 3$, то есть интеграл вида \[ u(x)=\int \frac{d \mu(y)}{|x-y|^{n-2}}, \] где интегрирование производится по некоторой мере Радона $\mu$ на $\mathbb{R}^{n}$ с компактным носителем $S$. В случае неотрицательной меры $\mu$ Н. П. (1) есть супергармонич. функция во всем пространстве $\mathbb{R}^{n}$ (см. Субгармоническая функция). Вне носителя $S$ меры $\mu$ Н. П. (1) имеет производные всех порядков по координатам точки $x$ и является регулярным решением Лапласа уравнения \[ \Delta u(x)=0 \] то есть $u(x)$ - гармоническая функция на открытом множестве $C S$, регулярная и на бесконечности, $u(\infty)=0$. В случае абсолютно непрерывной меры $\mu$ Н. п. $u(x)$ имеет вид: \[ u(x)=\int_{D} \frac{1}{|x-y|^{n-2}} f(y) d \omega(y), \] где $d \omega$ - элемент объема в $\mathbb{R}^{n}, D-$ нек-рая конечная область. Если при этом плотность $f(y)$ непрерывна по Гельдеру в замкнутой области $D$ и граница $\partial D$ состоит из конечного числа замкнутых гиперповерхностей Ляпунова, то $u(x)$ имеет непрерывные производные 2-го порядка внутри $D$ и удовлетворяет Пуассона уравнению \[ \Delta u(x)=-(n-2) 2 \pi^{n / 2} f(x) / \Gamma(n / 2) . \] В работах И. Ньютона (I. Newton) понятие «потенциала» еще не встречается. Впервые существование силовой функции ньютоновых сил тяготения доказал Ж. Лагранж (J. Lagrange, 1773). Термины «потенциальная функция» и «Потенциал», применительно к интегралам вида (2) при $n=3$, впервые встречаются соответственно у Дж. Грина (G. Green, 1828) и у К. Гаусса (C. Gauss, 1840). Термин «Н. п.» иногда употребляется в узком смысле применительно только к объемным потенциалам вида (2), а иногда - применительно только к физически реальному случаю (2) потенциала сил тяготения при $n=3$, создаваемого массами, распределенными в области $D$ с плотностью $f(y)$. Лит.: [1] Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953; [2] Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала, М.-Л., 1946. Е. Д. Соломенцев.