ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

специфическое взаимное влияние одинаковых (тождественных) частиц, эффективно проявляющееся как результат некоторого особого взаимодействия. О. в.- чисто квантовомеханич. Эффект, не имеющий аналога в классич. физике. Вследствие квантовомеханич. принципа неразличимости одинаковых частиц (тождественности принципа) волновая функция системы должна обладать определенной симметрией относительно перестановки двух таких частиц, то есть их координат и проекций спинов: для частиц с целым спином - бозонов - волновая функция системы не меняется при такой перестановке (является симметричной), а для частиц с полуцелым спином - фермионов - меняет знак (является антисимметричной). Если силы взаимодействия между частицами не зависят от их спинов, волновую функцию системы можно представить в виде произведения двух функций, одна из к-рых зависит только от координат частиц, а другая - только от их спинов. В этом случае из принципа тождественности следует, что координатная часть волновой функции, описывающая движение частиц в пространстве, должна обладать определенной симметрией относительно перестановки координат одинаковых частиц, зависящей от симметрии спиновой части волновой функции. Наличие такой симметрии означает, что имеет место определенная согласованность, корреляция движения одинаковых частиц, к-рая сказывается на энергии системы (даже в отсутствие силовых взаимодействий между частицами). Поскольку обычно влияние частиц друг на друга является результатом действия между ними каких-либо сил, о взаимном влиянии одинаковых частиц, вытекающем из принципа тождественности, говорят как о проявлении специфич. взаимодействия - О. в. Возникновение О. в. можно проиллюстрировать на примере атома гелия [впервые это было сделано В. Гейзенбергом (W. Heisenberg) в 1926]. Спиновые взаимодействия в легких атомах малы, поэтому волновая функция двух электронов в атоме гелия может быть представлена в виде: \[ \Psi=\Phi\left(r_{1}, r_{2}\right) \chi\left(s_{1}, s_{2}\right), \] где $\Phi\left(\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}\right)$ - функция координат электронов, $\chi\left(s_{1}, s_{2}\right)-$ функция проекций их спинов на нек-рое направление. Так как электроны являются фермионами, полная волновая функция должна быть антисимметричной. Если суммарный спин $S$ обоих электронов равен нулю (спины антипараллельны - парагелий), то спиновая функция $\chi$ антисимметрична относительно перестановки спиновых переменных и, следовательно, координатная функция $\Phi$ должна быть симметрична относительно перестановки координат электронов. Если же $S=1$ (спины параллельны - ортогелий), то $\chi$ симметрична, а $\Phi$ антисимметрична. Обозначая через $\psi_{n}\left(r_{1}\right), \psi_{m}\left(r_{2}\right)$ волновые функции отдельных электронов в атоме гелия (индексы $n, m$ означают набор квантовых чисел, определяющих состояние электрона в атоме), можно, пренебрегая сначала взаимодействием между электронами, записать координатную часть волновой функции в виде: \[ \left.\begin{array}{l} \Phi_{\mathrm{a}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{n}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right) \psi_{m}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)-\psi_{m}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right) \psi_{n}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)\right] \text { для } S=1, \\ \Phi_{\mathrm{c}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{n}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right) \psi_{m}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)+\psi_{m}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right) \psi_{n}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)\right] \text { для } S=0 \end{array}\right\} \] (множитель $1 / \sqrt{2}$ введен для нормировки волновой функции). В состоянии с антисимметричной координатной функцией $\Phi_{\mathrm{a}}$ среднее расстояние между электронами оказывается большим, чем в состоянии с симметричной функцией $\Phi_{\mathrm{c}}$; это видно из того, что вероятность $|\Psi|^{2}=\left|\Phi_{\mathrm{a}}\right|^{2}\left|\chi_{\mathrm{c}}\right|^{2}$ нахождения электронов в одной и той же точке $\left(r_{1}=r_{2}\right)$ для состояния $\Phi_{\text {а }}$ равна нулю. Поэтому средняя энергия кулоновского взаимодействия (отталкивания) двух электронов оказывается в состоянии $\Phi_{\mathrm{a}}$ меньшей, чем в состоянии $\Phi_{\mathrm{c}}$. Поправка к энергии системы, связанная с взаимодействием электронов, определяется по теории возмущений: \[ \mathscr{E}_{\mathrm{B} 3}=K \pm A \] где знаки \pm относятся соответственно к симметричному и антисимметричному координатным состояниям, \[ \begin{gathered} K=e^{2} \int \frac{\left|\psi_{n}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)\right|^{2}\left|\psi_{m}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)\right|^{2}}{\left|\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right|} d \tau_{1} d \tau_{2}, \\ A=e^{2} \int \frac{\psi_{n}^{*}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right) \psi_{m}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right) \psi_{m}^{*}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right) \psi_{n}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)}{\left|\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right|} d \tau_{1} d \tau_{2} \end{gathered} \] ( $e-$ заряд электрона, $d \tau=d x d y d z-$ элемент объема). Величина $K$ имеет наглядный классич. смысл и соответствует электростатич. взаимодействию двух заряженных «облаков» с плотностями заряда $e\left|\psi_{n}\left(r_{1}\right)\right|^{2}$ и $e\left|\psi_{m}\left(r_{2}\right)\right|^{2}$. Величину $A$, называемую обменным интегралом, можно интерпретировать как электростатич. взаимодействие заряженных «обла- ков» с плотностями заряда $e \psi_{n}^{*}\left(r_{1}\right) \psi_{m}\left(r_{1}\right)$ и $e \psi_{m}^{*}\left(r_{2}\right) \psi_{n}\left(r_{2}\right)$ (звездочка означает комплексное сопряжение), то есть когда каждый из электронов находится одновременно в состояниях $\psi_{n}$ и $\psi_{m}$ (что бессмысленно с точки зрения классич. физики). Из (3) следует, что полная энергия пара- и ортогелия с электронами в аналогичных состояниях отличается на величину $2 A$. Таким образом, хотя непосредственно спиновое взаимодействие мало и не учитывается, тождественность двух электронов в атоме гелия приводит к тому, что энергия системы оказывается зависящей от полного спина системы, как если бы между частицами существовало дополнительное, обменное взаимодействие. Очевидно, что О. в. в данном случае является частью кулоновского взаимодействия электронов и явным образом выступает при приближенном рассмотрении квантовомеханич. системы, когда волновая функция всей системы выражается через волновые функции отдельных частиц (в частности, в приближении Хартри - Фока). О. в. эффективно проявляется в тех случаях, когда «перекрываются» волновые функции отдельных частиц системы, то есть когда существуют области пространства, в к-рых с заметной вероятностью может находиться частица в различных состояниях движения. Это видно из выражения для обменного интеграла $A$ : если степень перекрытия состояний $\psi_{n}^{*}(r)$ и $\psi(r)$ незначительна, то величина $A$ очень мала. Характер О. в. различен для фермионов и для бозонов. Для фермионов О. в. является следствием Паули принципа, препятствующего сближению тождественных частиц с одинаковым направлением спинов, и эффективно проявляется как отталкивание их друг от друга. В системе тождественных бозонов О. в., напротив, имеет характер взаимного притяжения частиц. Рассмотрение систем из большего числа одинаковых частиц производится на основе Ферми - Дирака статистики для фермионов и Бозе - Эйнштейна статистики для бозонов. Если взаимодействующие тождественные частицы находятся во внешнем поле, напр. в кулоновском поле ядра, то существование определенной симметрии волновой функции и соответственно определенной корреляции движения частиц влияет на их энергию в этом поле, что также является обменным эффектом. Обычно (в атоме, молекуле, кристалле) это О. в. вносит вклад обратного знака по сравнению с вкладом О. в. частиц друг с другом. Поэтому суммарный обменный эффект может как понижать, так и повышать полную энергию взаимодействия в системе. Энергетич. выгодность или невыгодность состояния с параллельными спинами фермионов, в частности электронов, зависит от относительных величин этих вкладов. Так, в ферромагнетике (аналогично рассмотренному атому гелия) более низкой энергией обладает состояние, в к-ром спины (и магнитные моменты) электронов в незаполненных оболочках соседних атомов параллельны; в этом случае благодаря О. в. возникает спонтанная намагниченность. Напротив, в молекулах с ковалентной химич. связью, напр. в молекуле $\mathrm{H}_{2}$, энергетически выгодно состояние, в к-ром спины валентных электронов соединяющихся атомов антипараллельны. О. в. объясняет, таким образом, закономерности атомной и молекулярной спектроскопии, химич. связь в молекулах, ферромагнетизм (и антиферромагнетизм), а также другие специфич. явления в системах одинаковых частиц. Д. А. Киржниц, С. С. Герштейн.

специфическое взаимное влияние одинаковых (тождественных) частиц, эффективно проявляющееся как результат некоторого особого взаимодействия. О. в.- чисто квантовомеханич. Эффект, не имеющий аналога в классич. физике. Вследствие квантовомеханич. принципа неразличимости одинаковых частиц (тождественности принципа) волновая функция системы должна обладать определенной симметрией относительно перестановки двух таких частиц, то есть их координат и проекций спинов: для частиц с целым спином - бозонов - волновая функция системы не меняется при такой перестановке (является симметричной), а для частиц с полуцелым спином - фермионов - меняет знак (является антисимметричной). Если силы взаимодействия между частицами не зависят от их спинов, волновую функцию системы можно представить в виде произведения двух функций, одна из к-рых зависит только от координат частиц, а другая - только от их спинов. В этом случае из принципа тождественности следует, что координатная часть волновой функции, описывающая движение частиц в пространстве, должна обладать определенной симметрией относительно перестановки координат одинаковых частиц, зависящей от симметрии спиновой части волновой функции. Наличие такой симметрии означает, что имеет место определенная согласованность, корреляция движения одинаковых частиц, к-рая сказывается на энергии системы (даже в отсутствие силовых взаимодействий между частицами). Поскольку обычно влияние частиц друг на друга является результатом действия между ними каких-либо сил, о взаимном влиянии одинаковых частиц, вытекающем из принципа тождественности, говорят как о проявлении специфич. взаимодействия - О. в. Возникновение О. в. можно проиллюстрировать на примере атома гелия [впервые это было сделано В. Гейзенбергом (W. Heisenberg) в 1926]. Спиновые взаимодействия в легких атомах малы, поэтому волновая функция двух электронов в атоме гелия может быть представлена в виде: \[ \Psi=\Phi\left(r_{1}, r_{2}\right) \chi\left(s_{1}, s_{2}\right), \] где $\Phi\left(\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}\right)$ - функция координат электронов, $\chi\left(s_{1}, s_{2}\right)-$ функция проекций их спинов на нек-рое направление. Так как электроны являются фермионами, полная волновая функция должна быть антисимметричной. Если суммарный спин $S$ обоих электронов равен нулю (спины антипараллельны - парагелий), то спиновая функция $\chi$ антисимметрична относительно перестановки спиновых переменных и, следовательно, координатная функция $\Phi$ должна быть симметрична относительно перестановки координат электронов. Если же $S=1$ (спины параллельны - ортогелий), то $\chi$ симметрична, а $\Phi$ антисимметрична. Обозначая через $\psi_{n}\left(r_{1}\right), \psi_{m}\left(r_{2}\right)$ волновые функции отдельных электронов в атоме гелия (индексы $n, m$ означают набор квантовых чисел, определяющих состояние электрона в атоме), можно, пренебрегая сначала взаимодействием между электронами, записать координатную часть волновой функции в виде: \[ \left.\begin{array}{l} \Phi_{\mathrm{a}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{n}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right) \psi_{m}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)-\psi_{m}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right) \psi_{n}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)\right] \text { для } S=1, \\ \Phi_{\mathrm{c}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{n}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right) \psi_{m}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)+\psi_{m}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right) \psi_{n}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)\right] \text { для } S=0 \end{array}\right\} \] (множитель $1 / \sqrt{2}$ введен для нормировки волновой функции). В состоянии с антисимметричной координатной функцией $\Phi_{\mathrm{a}}$ среднее расстояние между электронами оказывается большим, чем в состоянии с симметричной функцией $\Phi_{\mathrm{c}}$; это видно из того, что вероятность $|\Psi|^{2}=\left|\Phi_{\mathrm{a}}\right|^{2}\left|\chi_{\mathrm{c}}\right|^{2}$ нахождения электронов в одной и той же точке $\left(r_{1}=r_{2}\right)$ для состояния $\Phi_{\text {а }}$ равна нулю. Поэтому средняя энергия кулоновского взаимодействия (отталкивания) двух электронов оказывается в состоянии $\Phi_{\mathrm{a}}$ меньшей, чем в состоянии $\Phi_{\mathrm{c}}$. Поправка к энергии системы, связанная с взаимодействием электронов, определяется по теории возмущений: \[ \mathscr{E}_{\mathrm{B} 3}=K \pm A \] где знаки \pm относятся соответственно к симметричному и антисимметричному координатным состояниям, \[ \begin{gathered} K=e^{2} \int \frac{\left|\psi_{n}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)\right|^{2}\left|\psi_{m}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)\right|^{2}}{\left|\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right|} d \tau_{1} d \tau_{2}, \\ A=e^{2} \int \frac{\psi_{n}^{*}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right) \psi_{m}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right) \psi_{m}^{*}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right) \psi_{n}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)}{\left|\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right|} d \tau_{1} d \tau_{2} \end{gathered} \] ( $e-$ заряд электрона, $d \tau=d x d y d z-$ элемент объема). Величина $K$ имеет наглядный классич. смысл и соответствует электростатич. взаимодействию двух заряженных «облаков» с плотностями заряда $e\left|\psi_{n}\left(r_{1}\right)\right|^{2}$ и $e\left|\psi_{m}\left(r_{2}\right)\right|^{2}$. Величину $A$, называемую обменным интегралом, можно интерпретировать как электростатич. взаимодействие заряженных «обла- ков» с плотностями заряда $e \psi_{n}^{*}\left(r_{1}\right) \psi_{m}\left(r_{1}\right)$ и $e \psi_{m}^{*}\left(r_{2}\right) \psi_{n}\left(r_{2}\right)$ (звездочка означает комплексное сопряжение), то есть когда каждый из электронов находится одновременно в состояниях $\psi_{n}$ и $\psi_{m}$ (что бессмысленно с точки зрения классич. физики). Из (3) следует, что полная энергия пара- и ортогелия с электронами в аналогичных состояниях отличается на величину $2 A$. Таким образом, хотя непосредственно спиновое взаимодействие мало и не учитывается, тождественность двух электронов в атоме гелия приводит к тому, что энергия системы оказывается зависящей от полного спина системы, как если бы между частицами существовало дополнительное, обменное взаимодействие. Очевидно, что О. в. в данном случае является частью кулоновского взаимодействия электронов и явным образом выступает при приближенном рассмотрении квантовомеханич. системы, когда волновая функция всей системы выражается через волновые функции отдельных частиц (в частности, в приближении Хартри - Фока). О. в. эффективно проявляется в тех случаях, когда «перекрываются» волновые функции отдельных частиц системы, то есть когда существуют области пространства, в к-рых с заметной вероятностью может находиться частица в различных состояниях движения. Это видно из выражения для обменного интеграла $A$ : если степень перекрытия состояний $\psi_{n}^{*}(r)$ и $\psi(r)$ незначительна, то величина $A$ очень мала. Характер О. в. различен для фермионов и для бозонов. Для фермионов О. в. является следствием Паули принципа, препятствующего сближению тождественных частиц с одинаковым направлением спинов, и эффективно проявляется как отталкивание их друг от друга. В системе тождественных бозонов О. в., напротив, имеет характер взаимного притяжения частиц. Рассмотрение систем из большего числа одинаковых частиц производится на основе Ферми - Дирака статистики для фермионов и Бозе - Эйнштейна статистики для бозонов. Если взаимодействующие тождественные частицы находятся во внешнем поле, напр. в кулоновском поле ядра, то существование определенной симметрии волновой функции и соответственно определенной корреляции движения частиц влияет на их энергию в этом поле, что также является обменным эффектом. Обычно (в атоме, молекуле, кристалле) это О. в. вносит вклад обратного знака по сравнению с вкладом О. в. частиц друг с другом. Поэтому суммарный обменный эффект может как понижать, так и повышать полную энергию взаимодействия в системе. Энергетич. выгодность или невыгодность состояния с параллельными спинами фермионов, в частности электронов, зависит от относительных величин этих вкладов. Так, в ферромагнетике (аналогично рассмотренному атому гелия) более низкой энергией обладает состояние, в к-ром спины (и магнитные моменты) электронов в незаполненных оболочках соседних атомов параллельны; в этом случае благодаря О. в. возникает спонтанная намагниченность. Напротив, в молекулах с ковалентной химич. связью, напр. в молекуле $\mathrm{H}_{2}$, энергетически выгодно состояние, в к-ром спины валентных электронов соединяющихся атомов антипараллельны. О. в. объясняет, таким образом, закономерности атомной и молекулярной спектроскопии, химич. связь в молекулах, ферромагнетизм (и антиферромагнетизм), а также другие специфич. явления в системах одинаковых частиц. Д. А. Киржниц, С. С. Герштейн.