ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ

решение дифференциального уравнения в классе обобщенных функций. В нормальной ситуации всякое классич. решение данного уравнения является и его О.р. Однородные уравнения эллиптич. типа имеют лишь классич. решения (это свойство их полностью характеризует), другие имеют широкие спектры истинно О. р. Впервые О. р. были введены в 30-х гг. С. Л. Соболевым при изучении уравнений гиперболич. типа. Обобщенным решением в пространстве обобщенных функций $\mathscr{F}^{\prime}$ линейного дифференциального уравнения \[ P(D) u \equiv \sum_{|\alpha|=0}^{m} c_{\alpha} D^{\alpha} u=f \] называется всякая обобщенная функция $u \in \mathscr{F}^{\prime}$, обращающая это уравнение в верное равенство, то есть такая, что \[ (P(D) u, \Phi) \equiv \sum_{|\alpha|=0}^{m}\left(u,(-1)^{|\alpha|} D^{\alpha} c_{\alpha} \Phi\right)=(f, \Phi), \quad \Phi \in \mathscr{F} . \] Здесь мультииндекс $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right),|\alpha|=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{n}, c_{\alpha}-$ мультипликаторы в $\mathscr{F}^{\prime}, D^{\alpha}=D_{1}^{\alpha_{1}} \ldots D_{n}^{\alpha_{n}}, D_{j}=\partial / \partial x_{j}, f \in \mathscr{F}^{\prime}$.

решение дифференциального уравнения в классе обобщенных функций. В нормальной ситуации всякое классич. решение данного уравнения является и его О.р. Однородные уравнения эллиптич. типа имеют лишь классич. решения (это свойство их полностью характеризует), другие имеют широкие спектры истинно О. р. Впервые О. р. были введены в 30-х гг. С. Л. Соболевым при изучении уравнений гиперболич. типа. Обобщенным решением в пространстве обобщенных функций $\mathscr{F}^{\prime}$ линейного дифференциального уравнения \[ P(D) u \equiv \sum_{|\alpha|=0}^{m} c_{\alpha} D^{\alpha} u=f \] называется всякая обобщенная функция $u \in \mathscr{F}^{\prime}$, обращающая это уравнение в верное равенство, то есть такая, что \[ (P(D) u, \Phi) \equiv \sum_{|\alpha|=0}^{m}\left(u,(-1)^{|\alpha|} D^{\alpha} c_{\alpha} \Phi\right)=(f, \Phi), \quad \Phi \in \mathscr{F} . \] Здесь мультииндекс $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right),|\alpha|=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{n}, c_{\alpha}-$ мультипликаторы в $\mathscr{F}^{\prime}, D^{\alpha}=D_{1}^{\alpha_{1}} \ldots D_{n}^{\alpha_{n}}, D_{j}=\partial / \partial x_{j}, f \in \mathscr{F}^{\prime}$.