ОБОБЩЕННОЕ СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ, ОБОБЩЕННЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

случайная функция на гладком многообразии $G$, типичными реализациями которой являются обобщенные функции, заданные на этом многообразии $G$. Точнее, пусть $G$ - бесконечно гладкое многообразие и $D(G)$ - пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций, определенных на $G$, с обычной топологией равномерной сходимости последовательностей равномерно финитных функций и всех их производных. Тогда на $G$ определено О.с. п., если задано непрерывное линейное отображение \[ D(G) \rightarrow L_{0}(\Omega, \mathfrak{B}, \mu), \varphi \rightarrow f_{\varphi}, \varphi \in D(G), \] пространства $D(G)$ в пространство $L_{0}(\Omega, \mathfrak{B}, \mu)$ случайных величин, определенных на нек-ром вероятностном пространстве $\Omega$ с выделенной $\sigma$-алгеброй его подмножеств $\mathfrak{B}$ и вероятностной мерой $\mu$, определенной на $\mathfrak{B} ; L_{0}(\Omega, \mathfrak{B}, \mu)$ снабжено топологией сходимости по мере (см. [7]). В случае, когда вероятностным пространством является пространство $D^{\prime}(G)$ обобщенных функций на $G$ с $\sigma$-алгеброй $\mathfrak{B}_{0}$, порожденной цилиндрич. множествами в $D^{\prime}(G)$, а отображение задается формулами: \[ f_{\varphi}(T)=(T, \varphi), T \in D^{\prime}(G), \varphi \in D(G), \] О. с. п. $\left\{f_{\varphi}, \varphi \in D^{\prime}(G)\right\}$ называется каноническим. Оказывается, что любое О. с. П. на конечномерном многообразии $G$ вероятностно изоморфно нек-рому (единственному) канонич. случайному полю на $G$ (см. [2]). Приведенное здесь определение допускает ряд естественных модификаций: напр., можно рассмотреть О. с. п. с векторными значениями или вместо пространства $D(G)$ использовать в определении какое-нибудь более обширное пространство основных функций на $G$ (скажем, в случае $G=\mathbb{R}^{n}, n=1,2,3$, пространства $S\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ бесконечно дифференцируемых функций, убывающих на бесконечности вместе со всеми производными, быстрее любой отрицательной степени $\left.|x|^{k}, k=-1,-2,-3, \ldots, x \in \mathbb{R}^{n}\right)$. Понятие О. с. П. включает в себя классич. случайные поля и случайные процессы, реализациями к-рых являются обычные функции. Это понятие возникло в середине 50-х гг., когда обнаружилось, что многие естественные стохастич. образования не могут быть достаточно просто выражены в терминах классич. случайных полей, а на языке О.с. п. имеют простое и изящное описание. Так, напр., любая положительно определенная билинейная форма на $D\left(\mathbb{R}^{n}\right), n=1,2, \ldots$ : \[ \left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=\int_{\mathbb{R}^{n}} \int_{\mathbb{R}^{n}} W\left(x_{1}, x_{2}\right) \varphi\left(x_{1}\right) \varphi\left(x_{2}\right) d x_{1} d x_{2}, \] где $\varphi_{1}, \varphi_{2} \in D\left(\mathbb{R}^{n}\right), W\left(x_{1}, x_{2}\right)$ - положительно определенная симметрич. обобщенная функция двух переменных, однозначно определяет гауссовское О.с. п. $\left\{f_{\varphi}, \varphi \in D\left(\mathbb{R}^{n}\right)\right\}$ на $\mathbb{R}^{n}$ (с нулевым средним) так, что ковариация этого поля \[ \int f_{\varphi_{1}} f_{\varphi_{2}} d \mu=\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) \] ( $\mu$ - соответствующая этому полю вероятностная мера в $\left.D^{\prime}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\right)$. Это О.с. п. оказывается классическим лишь при достаточно хорошей функции $W\left(x_{1}, x_{2}\right)$ (напр., непрерывной и ограниченной). Другие примеры: О.с.п. на $\mathbb{R}^{n}$ с независимыми значениями (см. [2]) или так наз. автомодельные случайные поля на $\mathbb{R}^{n}$ (см. [6]), среди к-рых вообще нет классич. полей. Интерес к исследованию О.с. П. (особенно марковских случайных полей) возрос в последнее время из-за обнаруженной в начале 70-х гг. связи между задачей построения квантового физич. поля и построением марковских О.с. п. на $\mathbb{R}^{n}$ при $n>1$ (см. [5]).

случайная функция на гладком многообразии $G$, типичными реализациями которой являются обобщенные функции, заданные на этом многообразии $G$. Точнее, пусть $G$ - бесконечно гладкое многообразие и $D(G)$ - пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций, определенных на $G$, с обычной топологией равномерной сходимости последовательностей равномерно финитных функций и всех их производных. Тогда на $G$ определено О.с. п., если задано непрерывное линейное отображение \[ D(G) \rightarrow L_{0}(\Omega, \mathfrak{B}, \mu), \varphi \rightarrow f_{\varphi}, \varphi \in D(G), \] пространства $D(G)$ в пространство $L_{0}(\Omega, \mathfrak{B}, \mu)$ случайных величин, определенных на нек-ром вероятностном пространстве $\Omega$ с выделенной $\sigma$-алгеброй его подмножеств $\mathfrak{B}$ и вероятностной мерой $\mu$, определенной на $\mathfrak{B} ; L_{0}(\Omega, \mathfrak{B}, \mu)$ снабжено топологией сходимости по мере (см. [7]). В случае, когда вероятностным пространством является пространство $D^{\prime}(G)$ обобщенных функций на $G$ с $\sigma$-алгеброй $\mathfrak{B}_{0}$, порожденной цилиндрич. множествами в $D^{\prime}(G)$, а отображение задается формулами: \[ f_{\varphi}(T)=(T, \varphi), T \in D^{\prime}(G), \varphi \in D(G), \] О. с. п. $\left\{f_{\varphi}, \varphi \in D^{\prime}(G)\right\}$ называется каноническим. Оказывается, что любое О. с. П. на конечномерном многообразии $G$ вероятностно изоморфно нек-рому (единственному) канонич. случайному полю на $G$ (см. [2]). Приведенное здесь определение допускает ряд естественных модификаций: напр., можно рассмотреть О. с. п. с векторными значениями или вместо пространства $D(G)$ использовать в определении какое-нибудь более обширное пространство основных функций на $G$ (скажем, в случае $G=\mathbb{R}^{n}, n=1,2,3$, пространства $S\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ бесконечно дифференцируемых функций, убывающих на бесконечности вместе со всеми производными, быстрее любой отрицательной степени $\left.|x|^{k}, k=-1,-2,-3, \ldots, x \in \mathbb{R}^{n}\right)$. Понятие О. с. П. включает в себя классич. случайные поля и случайные процессы, реализациями к-рых являются обычные функции. Это понятие возникло в середине 50-х гг., когда обнаружилось, что многие естественные стохастич. образования не могут быть достаточно просто выражены в терминах классич. случайных полей, а на языке О.с. п. имеют простое и изящное описание. Так, напр., любая положительно определенная билинейная форма на $D\left(\mathbb{R}^{n}\right), n=1,2, \ldots$ : \[ \left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=\int_{\mathbb{R}^{n}} \int_{\mathbb{R}^{n}} W\left(x_{1}, x_{2}\right) \varphi\left(x_{1}\right) \varphi\left(x_{2}\right) d x_{1} d x_{2}, \] где $\varphi_{1}, \varphi_{2} \in D\left(\mathbb{R}^{n}\right), W\left(x_{1}, x_{2}\right)$ - положительно определенная симметрич. обобщенная функция двух переменных, однозначно определяет гауссовское О.с. п. $\left\{f_{\varphi}, \varphi \in D\left(\mathbb{R}^{n}\right)\right\}$ на $\mathbb{R}^{n}$ (с нулевым средним) так, что ковариация этого поля \[ \int f_{\varphi_{1}} f_{\varphi_{2}} d \mu=\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) \] ( $\mu$ - соответствующая этому полю вероятностная мера в $\left.D^{\prime}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\right)$. Это О.с. п. оказывается классическим лишь при достаточно хорошей функции $W\left(x_{1}, x_{2}\right)$ (напр., непрерывной и ограниченной). Другие примеры: О.с.п. на $\mathbb{R}^{n}$ с независимыми значениями (см. [2]) или так наз. автомодельные случайные поля на $\mathbb{R}^{n}$ (см. [6]), среди к-рых вообще нет классич. полей. Интерес к исследованию О.с. П. (особенно марковских случайных полей) возрос в последнее время из-за обнаруженной в начале 70-х гг. связи между задачей построения квантового физич. поля и построением марковских О.с. п. на $\mathbb{R}^{n}$ при $n>1$ (см. [5]).