ОБРАТИМАЯ СИСТЕМА

динамическая система, переходящая в систему с обратным направлением течения времени под действием некоторой инволюции фазового пространства (то есть преобразования $G$, для которого $G(G(x)) \equiv x)$. В частности, дифференциальное уравнение $\dot{x}=V(x)$ и векторное поле $V($ более общо, дифференциальное уравнение $\dot{x}=V(x, t))$ обратимы относительно инволюции $G$, если это уравнение инвариантно относительно замены $t \rightarrow-t, x \mapsto G(x)$; взаимно однозначное отображение $A$ пространства на себя обратимо относительно инволюции $G$, если $G A=A^{-1} G$. Напр., уравнение Ньютона $\ddot{r}=F(r), r \in \mathbb{R}^{N}$, обратимо относительно инволюции $G:(r, v) \mapsto(r,-v)$, где $v=\dot{r}$; поворот плоскости обратим относительно отражения относительно любой прямой, проходящей через центр поворота. Изучение О.с. было начато работами А. М. Ляпунова (1892) и Дж. Биркгофа (G. Birkhoff, 1915). Уравнение $\dot{x}=V(x, t)$ обратимо относительно $G$, если и только если соответствующее семейство $F_{\tau}^{t}$ фазового потока за любое время от $\tau$ до $t$ удовлетворяет тождеству $G F_{\tau}^{t} \equiv F_{-\tau}^{-t} G$. В частности, автономное уравнение $\dot{x}=V(x)$ обратимо относительно $G$, если и только если соответствующее преобразование $g^{t}$ фазового потока за любое время $t$ обратимо относительно $G$. Симметричным циклом векторного поля $\boldsymbol{V}$, обратимого относительно $G$, называется замкнутая $G$-инвариантная траектория этого поля. Функция последования симметричного цикла обратима, если соответствующее сечение Пуанкаре выбрано $G$-инвариантным (см. [2], [4], [6]). Обратимые дифференциальные уравнения и диффеоморфизмы обнаруживают очень большое сходство с гамильтоновыми уравнениями и точными симплектич. диффеоморфизмами соответственно. Это сходство распространяется на: 1) спектр и нормальные формы линейных О.с., а также параметрич. резонанс в линейных О. с. [2], [3]; 2) нормальные формы О.с. типа Пуанкаре - Дюлака - Биркгофа в окрестности положения равновесия [1], [2]; 3) поведение симметричных циклов обратимых векторных полей [2], [4], [6]; 4) структуру периодич. орбит обратимых диффеоморфизмов [2], [6]; 5) свойства условно-периодич. движений в О. с. [1], [2], [5]-[7]; на О.с. переносится большая часть $K A M-$ теории, изучающей инвариантные торы гамильтоновых систем. К пункту 3) относятся следующие результаты. Симметричные циклы векторных полей общего положения на $(p+q)$-мерном многообразии, обратимых относительно инволюции с подмногообразием неподвижных точек размерности $p \geqslant q-1$, объединяются в гладкие $(p-q+1)$-параметрич. семейства симметричных циклов, структурно устойчивые относительно малых обратимых шевелений поля. Если $\lambda$ - мультипликатор симметричного цикла, то $\lambda^{-1}$ - также мультипликатор. На О. с. распространяется теорема Ляпунова о центре [2], [4], [6], причем бифуркации семейств симметричных циклов при прохождении резонанса такие же, что и семейств периодич. решений в гамильтоновых системах. Обобщением О.с. являются слабо обратимые системы (см. [2], [3], [6]), переходящие в системы с обратным направлением течения времени под действием нек-рого (не обязательно инволютивного) диффеоморфизма фазового пространства. Лит.: [1] Moser J. K., «Ann. Math. Stud.», v. 77 (Stable and random motions in dynamical systems), Princeton, 1973, ch. 11, V; [2] Sevryuk M. B., «Lect. Notes Math.», v. 1211, B., 1986; [3] Якубович В.А., Старжинский В. М., Параметрический резонанс в линейных системах, М., 1987, гл. 11, § 1; [4] Devaney R. L., «Trans. Amer. Math. Soc.», 1976, v. 218, p. 89-113; [5] Scheurle J., «Arch. Rat. Mech. Anal.», 1987, v. 97, № 2, p. 103-39; [6] Arnol'd V.I., Sevryuk M. B., in: Nonlinear phenomena in plasma physics and hydrodynamics, M., 1986, p. 31-64; [7] Севрюк М. Б., в кн.: Труды семинара им. И. Г. Петровского, вып. 14, М., 1989, с. 109-24. М. Б. Севрюк.

динамическая система, переходящая в систему с обратным направлением течения времени под действием некоторой инволюции фазового пространства (то есть преобразования $G$, для которого $G(G(x)) \equiv x)$. В частности, дифференциальное уравнение $\dot{x}=V(x)$ и векторное поле $V($ более общо, дифференциальное уравнение $\dot{x}=V(x, t))$ обратимы относительно инволюции $G$, если это уравнение инвариантно относительно замены $t \rightarrow-t, x \mapsto G(x)$; взаимно однозначное отображение $A$ пространства на себя обратимо относительно инволюции $G$, если $G A=A^{-1} G$. Напр., уравнение Ньютона $\ddot{r}=F(r), r \in \mathbb{R}^{N}$, обратимо относительно инволюции $G:(r, v) \mapsto(r,-v)$, где $v=\dot{r}$; поворот плоскости обратим относительно отражения относительно любой прямой, проходящей через центр поворота. Изучение О.с. было начато работами А. М. Ляпунова (1892) и Дж. Биркгофа (G. Birkhoff, 1915). Уравнение $\dot{x}=V(x, t)$ обратимо относительно $G$, если и только если соответствующее семейство $F_{\tau}^{t}$ фазового потока за любое время от $\tau$ до $t$ удовлетворяет тождеству $G F_{\tau}^{t} \equiv F_{-\tau}^{-t} G$. В частности, автономное уравнение $\dot{x}=V(x)$ обратимо относительно $G$, если и только если соответствующее преобразование $g^{t}$ фазового потока за любое время $t$ обратимо относительно $G$. Симметричным циклом векторного поля $\boldsymbol{V}$, обратимого относительно $G$, называется замкнутая $G$-инвариантная траектория этого поля. Функция последования симметричного цикла обратима, если соответствующее сечение Пуанкаре выбрано $G$-инвариантным (см. [2], [4], [6]). Обратимые дифференциальные уравнения и диффеоморфизмы обнаруживают очень большое сходство с гамильтоновыми уравнениями и точными симплектич. диффеоморфизмами соответственно. Это сходство распространяется на: 1) спектр и нормальные формы линейных О.с., а также параметрич. резонанс в линейных О. с. [2], [3]; 2) нормальные формы О.с. типа Пуанкаре - Дюлака - Биркгофа в окрестности положения равновесия [1], [2]; 3) поведение симметричных циклов обратимых векторных полей [2], [4], [6]; 4) структуру периодич. орбит обратимых диффеоморфизмов [2], [6]; 5) свойства условно-периодич. движений в О. с. [1], [2], [5]-[7]; на О.с. переносится большая часть $K A M-$ теории, изучающей инвариантные торы гамильтоновых систем. К пункту 3) относятся следующие результаты. Симметричные циклы векторных полей общего положения на $(p+q)$-мерном многообразии, обратимых относительно инволюции с подмногообразием неподвижных точек размерности $p \geqslant q-1$, объединяются в гладкие $(p-q+1)$-параметрич. семейства симметричных циклов, структурно устойчивые относительно малых обратимых шевелений поля. Если $\lambda$ - мультипликатор симметричного цикла, то $\lambda^{-1}$ - также мультипликатор. На О. с. распространяется теорема Ляпунова о центре [2], [4], [6], причем бифуркации семейств симметричных циклов при прохождении резонанса такие же, что и семейств периодич. решений в гамильтоновых системах. Обобщением О.с. являются слабо обратимые системы (см. [2], [3], [6]), переходящие в системы с обратным направлением течения времени под действием нек-рого (не обязательно инволютивного) диффеоморфизма фазового пространства. Лит.: [1] Moser J. K., «Ann. Math. Stud.», v. 77 (Stable and random motions in dynamical systems), Princeton, 1973, ch. 11, V; [2] Sevryuk M. B., «Lect. Notes Math.», v. 1211, B., 1986; [3] Якубович В.А., Старжинский В. М., Параметрический резонанс в линейных системах, М., 1987, гл. 11, § 1; [4] Devaney R. L., «Trans. Amer. Math. Soc.», 1976, v. 218, p. 89-113; [5] Scheurle J., «Arch. Rat. Mech. Anal.», 1987, v. 97, № 2, p. 103-39; [6] Arnol'd V.I., Sevryuk M. B., in: Nonlinear phenomena in plasma physics and hydrodynamics, M., 1986, p. 31-64; [7] Севрюк М. Б., в кн.: Труды семинара им. И. Г. Петровского, вып. 14, М., 1989, с. 109-24. М. Б. Севрюк.